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線形数学です
これを対角化せよという問題で
自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに
なってしまい対角化できません
答えでは対角化できているのですが
お願いします

「線形数学です これを対角化せよという問題」の質問画像

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計算 値」に関するQ&A: 極限値の計算

A 回答 (4件)

No.2です。


すみません、書き間違いがありました。

固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,-2)です。
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    • 1

こちら ↓ でも, まったく同じ質問が見られます.



http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

貴方と同じく, 固有値が 1, 3 の 2 つだから対角化できない, と悩んでいるようです.
で, 貴方は行列 A の異なる固有値の個数がいくつなら, 対角化できると思っているのですか.
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固有値は1(重解)、3となり、重解があるため一見対角化ができなそうに見えますが、


その重解に対する固有ベクトルを、その重解の重複度の分だけ見つければ対角化できます。

具体的には、λ=1のとき、固有ベクトルを(x,y,z)と置いてみると、2x+y+z=0ですね。
ということは、例えば、z=-2x-yですので、x=c1、y=c2と置くと、z=-2c1-c2なので、
固有ベクトルは、
(x,y,z)=(c1,c2,-2c1-c2)=c1(1,0,-2)+c2(0,1,-1)
となって、2つのベクトル(1,0,-2),(0,1,-1)が、固有値1(重複度2)に対する固有ベクトル
ということがわかります。
一方、固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,2)なので、

  1 0 1
P= 0 1 -1
 -2 -1 -2

と置くと、
     1 0 0
P^(-1)AP= 0 1 0
     0 0 3

となって、対角化されます。
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    • 0

固有値は1,3で合ってます。

1は重根で、固有ベクトルが満たす
式は
2x + y + z = 0
になりますよね。つまり解は平面で、2個のベクトルの1次結合に
なります。この2つのベクトルを適当に決めて2個の固有ベクトルと
すればよいのですよ。

固有値3の固有ベクトルと合わせて3個の固有ベクトルがあれば
対角化できますよね。

(2, 1, 1)に垂直な、一次独立なベクトルを2個適当に選べばよいので
(1, -1, -1)
(1, -2, 0)
とか、計算のやりやすそうなものを選んでください。
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Q中3の数学の質問を見て

この質問コーナーでの中3の数学の質問を見て。リンクのせればいいのせても不味くはないと思いますがここでは控えます。

1.0.1km/分一定で歩く。
2.途中20分道草
3.目的地の5km先に到着。

 これを式にしろという事(変域は書かなくて良いらしい)なんです。まあ,道草なしで結果的にこんな感じで歩いたってならわからなくもないけど。途中20分の停滞があることを,単に一次式で書くことに何となく違和感が。実際の動き自体は一次式に乗りませんし,平均速度ならいいけど,平均移動距離とはならない。スタート時点で20分の道草分マイナスされるし。


 確かにゴール時点の形としてはy=ax-bになりはしますけど。


 単に問題を複雑化させたかったのでしょうけど,例えが悪いというか,率直に言えばダサい。
問題出した方のセンスがおかしいと私は思う。単に数学しか知らない人なのか?


 こんな私の感性って間違っていますか?

Aベストアンサー

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9684436.html
これですよね?


元の問題は「グラフから指定された定義域(50≦X)での式を書け」というもので
・文章を理解できるか
・最初の30分から、グラフの傾きを求められるか
・傾きが指定されたとき、指定された 座標(50,3)を通る式を求められるか
というものです。

1,2,3 以外にも
4.道草(Bさんの家で歓談)はx=30からx=50まで
という重要な情報が抜けているし、
肝心の「何を式にするのか」という点が抜けているので、
この質問にある情報だけでは、元の問題が妥当かどうかなど判断できません。


あなたが間違っている点は
「Aさんが話を終えてから図書館に着くまでについて、yをxの式で表しなさい」
という問題なのに、
「出発からのグラフ全体を一次式にするのはおかしい」
と論点を摩り替えてしまっていることです。

Q途中式不要なので答えだけ教えてください!

途中式不要なので答えだけ教えてください!

Aベストアンサー

Sx+2=√(Sx^2+Sy^2)-1
Sx^2+6Sx+9=Sx^2+Sy^2
6Sx+9=Sy^2
合ってます。

Tx+2=√(Tx^2+Ty^2)+1
Tx^2+2Tx+1=Tx^2+Ty^2
2Tx+1=Ty^2
合ってますね。

Sy=(sinθ/cosθ)Sx
6Sx+9=(sinθ^2/cosθ^2)Sx^2
sinθ^2*Sx^2-6cosθ^2*Sx-9cosθ^2=0
Sx=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±√(36cosθ^4+36sinθ^2cosθ^2))
=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±6cosθ)
=3cosθ(cosθ±1)/sinθ^2
0<Sy=(sinθ/cosθ)Sx
sinθ>0
cosθ±1>0
Sx=3cosθ(cosθ+1)/sinθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2=(1-cosθ)(1+cosθ)
Sx=3cosθ/(1-cosθ)
Sy=3sinθ/(1-cosθ)
S(θ)=(3cosθ/(1-cosθ),3sinθ/(1-cosθ))
ここはx座標が違ってますね。

Ty=(sinθ/cosθ)Tx
2Tx+1=(sinθ^2/cosθ^2)Tx^2
sinθ^2*Tx^2-2cosθ^2*Tx-cosθ^2=0
Tx=(1/2sinθ^2)*(2cosθ^2±√(4cosθ^4+4sinθ^2cosθ^2))
=(1/2sinθ^2)*(2cosθ^2±2cosθ)
=cosθ(cosθ±1)/sinθ^2
0>Ty=(sinθ/cosθ)Tx
sinθ>0
cosθ±1<0
Tx=cosθ(cosθ-1)/sinθ^2=cosθ/(1+cosθ)
Ty=sinθ/(1+cosθ)
T(θ)=(cosθ/(1+cosθ),sinθ/(1+cosθ))
ここもx座標が違ってますね。

Sx-Tx=3cosθ/(1-cosθ)-cosθ/(1+cosθ)
=(3(1+cosθ)-(1-cosθ))cosθ/(1-cosθ^2)
=(2+4cosθ)cosθ/sinθ^2

Sy-Ty=3sinθ/(1-cosθ)-sinθ/(1+cosθ)
=(3(1+cosθ)-(1-cosθ))sinθ/(1-cosθ^2)
=(2+4cosθ)sinθ/sinθ^2

√((Sx-Tx)^2+(Sy-Ty)^2)=√((2+4cosθ)^2*(cosθ^2+sinθ^2)/sinθ^4)
=√((2+4cosθ)^2/sinθ^4)
=(2+4cosθ)/sinθ^2

Sx+2=√(Sx^2+Sy^2)-1
Sx^2+6Sx+9=Sx^2+Sy^2
6Sx+9=Sy^2
合ってます。

Tx+2=√(Tx^2+Ty^2)+1
Tx^2+2Tx+1=Tx^2+Ty^2
2Tx+1=Ty^2
合ってますね。

Sy=(sinθ/cosθ)Sx
6Sx+9=(sinθ^2/cosθ^2)Sx^2
sinθ^2*Sx^2-6cosθ^2*Sx-9cosθ^2=0
Sx=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±√(36cosθ^4+36sinθ^2cosθ^2))
=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±6cosθ)
=3cosθ(cosθ±1)/sinθ^2
0<Sy=(sinθ/cosθ)Sx
sinθ>0
cosθ±1>0
Sx=3cosθ(cosθ+1)/sinθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2=(1-cosθ)(1+cosθ)
Sx=3cosθ/(1-cosθ)
Sy=3sinθ/(1-cosθ)
S(θ)=(3cosθ/(1-cosθ),3sinθ/(1-cosθ))...続きを読む

Q複素数平面の問題 この方法では解けないのか

zは絶対値が1の複素数とする。
(1)z+1/zは実数であることを示せ
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z=√(a^2+b^2) よってz^2=a^2+b^2

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=a+bi+a-bi/(a^2+b^2)
=a+bi+a-bi
=2a
よってz+1/zは実数である.

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問題集の解答では(1)を極形式で示されていたため(2)もすんなり解けていました
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よろしくお願いします

Aベストアンサー

問題は、zが|z|=1の円周上の点と気付けば
-1≦a≦1 はすぐわかりますね。
したがって、(1)で出した z+1/z=2aは -2≦z+1/z≦2 と、すぐ出ます。


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