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線形数学です これを対角化せよという問題で 自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに なってしまい

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  • 質問者：hjdjsb
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

線形数学です
これを対角化せよという問題で
自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに
なってしまい対角化できません
答えでは対角化できているのですが
お願いします

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「計算 値」に関するQ&A： 極限値の計算

A 回答 (4件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： springside
  • 回答日時：

No.2です。


すみません、書き間違いがありました。

固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,-2)です。
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No.4

こちら ↓ でも, まったく同じ質問が見られます.



http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

貴方と同じく, 固有値が 1, 3 の 2 つだから対角化できない, と悩んでいるようです.
で, 貴方は行列 A の異なる固有値の個数がいくつなら, 対角化できると思っているのですか.
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No.2

  • 回答者： springside
  • 回答日時：

固有値は1(重解)、3となり、重解があるため一見対角化ができなそうに見えますが、


その重解に対する固有ベクトルを、その重解の重複度の分だけ見つければ対角化できます。

具体的には、λ=1のとき、固有ベクトルを(x,y,z)と置いてみると、2x+y+z=0ですね。
ということは、例えば、z=-2x-yですので、x=c1、y=c2と置くと、z=-2c1-c2なので、
固有ベクトルは、
(x,y,z)=(c1,c2,-2c1-c2)=c1(1,0,-2)+c2(0,1,-1)
となって、2つのベクトル(1,0,-2),(0,1,-1)が、固有値1(重複度2)に対する固有ベクトル
ということがわかります。
一方、固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,2)なので、

　　1 0 1
P= 0 1 -1
　-2 -1 -2

と置くと、
　　　　　1 0 0
P^(-1)AP= 0 1 0
　　　　　0 0 3

となって、対角化されます。
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No.1

  • 回答者： tknakamuri
  • 回答日時：

固有値は1,3で合ってます。

1は重根で、固有ベクトルが満たす
式は
2x + y + z = 0
になりますよね。つまり解は平面で、2個のベクトルの1次結合に
なります。この２つのベクトルを適当に決めて2個の固有ベクトルと
すればよいのですよ。

固有値３の固有ベクトルと合わせて3個の固有ベクトルがあれば
対角化できますよね。

(2, 1, 1)に垂直な、一次独立なベクトルを2個適当に選べばよいので
(1, -1, -1)
(1, -2, 0)
とか、計算のやりやすそうなものを選んでください。
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Sx+2=√(Sx^2+Sy^2)-1
Sx^2+6Sx+9=Sx^2+Sy^2
6Sx+9=Sy^2
合ってます。

Tx+2=√(Tx^2+Ty^2)+1
Tx^2+2Tx+1=Tx^2+Ty^2
2Tx+1=Ty^2
合ってますね。

Sy=(sinθ/cosθ)Sx
6Sx+9=(sinθ^2/cosθ^2)Sx^2
sinθ^2*Sx^2-6cosθ^2*Sx-9cosθ^2=0
Sx=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±√(36cosθ^4+36sinθ^2cosθ^2))
=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±6cosθ)
=3cosθ(cosθ±1)/sinθ^2
0<Sy=(sinθ/cosθ)Sx
sinθ>0
cosθ±1>0
Sx=3cosθ(cosθ+1)/sinθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2=(1-cosθ)(1+cosθ)
Sx=3cosθ/(1-cosθ)
Sy=3sinθ/(1-cosθ)
S(θ)=(3cosθ/(1-cosθ),3sinθ/(1-cosθ))
ここはx座標が違ってますね。

Ty=(sinθ/cosθ)Tx
2Tx+1=(sinθ^2/cosθ^2)Tx^2
sinθ^2*Tx^2-2cosθ^2*Tx-cosθ^2=0
Tx=(1/2sinθ^2)*(2cosθ^2±√(4cosθ^4+4sinθ^2cosθ^2))
=(1/2sinθ^2)*(2cosθ^2±2cosθ)
=cosθ(cosθ±1)/sinθ^2
0>Ty=(sinθ/cosθ)Tx
sinθ>0
cosθ±1<0
Tx=cosθ(cosθ-1)/sinθ^2=cosθ/(1+cosθ)
Ty=sinθ/(1+cosθ)
T(θ)=(cosθ/(1+cosθ),sinθ/(1+cosθ))
ここもx座標が違ってますね。

Sx-Tx=3cosθ/(1-cosθ)-cosθ/(1+cosθ)
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=(2+4cosθ)cosθ/sinθ^2

Sy-Ty=3sinθ/(1-cosθ)-sinθ/(1+cosθ)
=(3(1+cosθ)-(1-cosθ))sinθ/(1-cosθ^2)
=(2+4cosθ)sinθ/sinθ^2

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=√((2+4cosθ)^2/sinθ^4)
=(2+4cosθ)/sinθ^2

Sx+2=√(Sx^2+Sy^2)-1
Sx^2+6Sx+9=Sx^2+Sy^2
6Sx+9=Sy^2
合ってます。

Tx+2=√(Tx^2+Ty^2)+1
Tx^2+2Tx+1=Tx^2+Ty^2
2Tx+1=Ty^2
合ってますね。

Sy=(sinθ/cosθ)Sx
6Sx+9=(sinθ^2/cosθ^2)Sx^2
sinθ^2*Sx^2-6cosθ^2*Sx-9cosθ^2=0
Sx=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±√(36cosθ^4+36sinθ^2cosθ^2))
=(1/2sinθ^2)*(6cosθ^2±6cosθ)
=3cosθ(cosθ±1)/sinθ^2
0<Sy=(sinθ/cosθ)Sx
sinθ>0
cosθ±1>0
Sx=3cosθ(cosθ+1)/sinθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2=(1-cosθ)(1+cosθ)
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