【高校数学】題意がつかめません！

条件(i)の、定数項の絶対値がx[2],,,,x[n]、とはどういうことですか？
P(x)は多項式なので、定数項は1項しかないはずだと思い、混乱しています。
定数項の絶対値がx[2]、x[3]、、、x[n]のいずれかということでしょうか？
ご意見をお聞かせください。
また、この問題は(全体像はつかめていませんが)そこそこの難問であることが予想されますので、もしよければ解答もよろしくお願いします。

問題本文
nを3以上の整数とし、x[1], x[2], x[3], ……, x[n]を0=x[1]<x[2]<x[3]< ……< x[n]を満たすn個の整数とする。このとき、次の条件(i), (ii)を満たす整数係数の多項式P(x)が存在することを示せ。
(i)P(x)はn+1次であり、定数項の絶対値はx[2], x[3], ……, x[n]である。
(ii)P(x)=0は相異なるn+1個の実数解をもち、それらを小さい方からα[1], α[2], ……, α[n+1]とするとき、α[1]<x[1]<α[2]<x[2]<……<α[n]<x[n]<α[n+1]を満たす。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2017/04/02 23:33

(ii)の条件だけならとても簡単な問題なので、(i)が重要。

　定数項は当然1個か0個である。そしてx[2]〜x[n]は相異なる。となれば(i)の条件から、定数項の絶対値はx[2]、すなわちn=2でなくてはならない。ところが冒頭で、nは3以上だと言っている。そりゃ矛盾ですね。仰る通り。
　ミスプリかなと思います。というのも、出題文は「n個の整数」だの「相異なる」だの「小さい方から」だのと冗長に念を押してみたかと思えば、一方で「(i),(ii)を満たす」という表現の意味が or なのか and なのかを明示しておらず、いや、どうもこの出題者は不注意な方らしい。
　もしかすると、
　　(i) P(x)はn+1次であり、定数項の絶対値は　x[2]x[3]…x[n] （という積）である。
という出題なのかもね。これなら解けるかなあ？

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/08 23:17

まちがっていたらごめんなさい。

これは定数項の絶対値が, x[2], x[3], ……, x[n]のそれぞれの場合について
(ii)を満たす整数係数のn+1次多項式P(x)が存在することを主張しているのでは？
もちろん、それぞれの場合のP(x)はちがうものです。

たとえば、ｎ＝3でx[1]＝0、 x[2]＝1、x[3]＝2　としたときの
P(x)＝2ｘ⁴－2ｘ³－11ｘ²＋13ｘ－1　と
P(x)＝2ｘ⁴－2ｘ³－12ｘ²＋16ｘ－2　です。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/11 22:23

No.2です。

一般のｎについての証明はむずかしいので、ｎ＝3のときだけを証明します。
すると問題は、
0＝ｘ₁＜ｘ₂＜ｘ₃を整数としたとき、４次の多項式Ｐ(ｘ)が存在して、
（ⅰ）定数項の絶対値はｘ₂かｘ₃である。
（ⅱ）Ｐ(ｘ)＝0は相異なる4個の実数解をもち、それらを小さい方からａ₁、ａ₂、ａ₃、ａ₄とするとき
ａ₁＜ｘ₁＜ａ₂＜ｘ₂＜ａ₃＜ｘ₃＜ａ₄　　を満たす。
となります。

証明
まず、定数項の絶対値がｘ₂のときのうち－ｘ₂のとき、
Ｐ(ｘ)＝ｂ₀ｘ⁴＋ｂ₁ｘ³＋ｂ₂ｘ²＋ｂ₃ｘ－ｘ₂　とおくと
Ｐ(ｘ₂)＝ｂ₀ｘ₂⁴＋ｂ₁ｘ₂³＋ｂ₂ｘ₂²＋ｂ₃ｘ₂－ｘ₂
Ｐ(ｘ₃)＝ｂ₀ｘ₃⁴＋ｂ₁ｘ₃³＋ｂ₂ｘ₃²＋ｂ₃ｘ₃－ｘ₂　　となりますが
これを係数ｂ₂、ｂ₃に関する連立方程式と見て解くと、
ｂ₂、ｂ₃の分母はｂ₀、ｂ₁、Ｐ(ｘ₂)、Ｐ(ｘ₃)の値によらず
ｘ₂²ｘ₃－ｘ₃²ｘ₂＝ｘ₂ｘ₃(ｘ₂－ｘ₃)となるので、
ｂ₀＝ｂ₁＝ｘ₂ｘ₃(ｘ₃－ｘ₂)、Ｐ(ｘ₂)＝2ｘ₂ｘ₃(ｘ₃－ｘ₂)－ｘ₂、Ｐ(ｘ₃)＝－ｘ₂ｘ₃(ｘ₃－ｘ₂)－ｘ₂
を上の式に代入してｂ₂、ｂ₃について解けば、ｂ₂、ｂ₃の分子は、その分母の倍数になり
ｂ₂、ｂ₃は必ず整数として求まります。
こうして求めた整係数の多項式Ｐ(ｘ)はＰ(ｘ₁)＝Ｐ(0)＝－ｘ₂＜0、Ｐ(ｘ₂)＞0、Ｐ(ｘ₃)＜0
で、ｂ₀＞0だからlim(ｘ→±∞)＝＋∞なので、連続関数の中間値の定理より条件（ⅱ）を満たす
ａ₁、ａ₂、ａ₃、ａ₄が必ず存在します。

定数項の絶対値がｘ₂のときのうちｘ₂のときは
Ｐ(ｘ₂)＝ｂ₀ｘ₂⁴＋ｂ₁ｘ₂³＋ｂ₂ｘ₂²＋ｂ₃ｘ₂＋ｘ₂
Ｐ(ｘ₃)＝ｂ₀ｘ₃⁴＋ｂ₁ｘ₃³＋ｂ₂ｘ₃²＋ｂ₃ｘ₃＋ｘ₂　において
ｂ₀＝ｂ₁＝ｘ₂ｘ₃(ｘ₂－ｘ₃)、Ｐ(ｘ₂)＝－2ｘ₂ｘ₃(ｘ₃－ｘ₂)＋ｘ₂、Ｐ(ｘ₃)＝ｘ₂ｘ₃(ｘ₃－ｘ₂)＋ｘ₂
をこの２式に代入してｂ₂、ｂ₃について解けば、やはりｂ₂、ｂ₃は整数として求まり、
これらの整係数を持つ多項式Ｐ(ｘ)は
Ｐ(ｘ₁)＝Ｐ(0)＝ｘ₂＞0、Ｐ(ｘ₂)＜0、Ｐ(ｘ₃)＞0で、ｂ₀＜0よりlim(ｘ→±∞)＝－∞なので
やはり連続関数の中間値の定理より条件（ⅱ）を満たすａ₁、ａ₂、ａ₃、ａ₄が必ず存在します。

定数項の絶対値がｘ₃のときも、まったく同じようにして証明できます。