不完全性定理って現実から離れた数学としての真理なのか？それとも現実に即しているのか？

Question

次の解説をめぐって　二つ目に引用した事例に沿って問います。

▲　（哲学的な何か、あと科学とか：不完全性定理）　～～～～～～～～～
http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/fukanzen.html
不完全性定理は述べる。

「どんな理論体系にも、証明不可能な命題（パラドックス）が必ず存在する。
それは、その理論体系に矛盾がないことを
その理論体系の中で決して証明できないということであり、
つまり、おのれ自身で完結する理論体系は構造的にありえない」

▲　（同上）　～～～～～～～～～
たとえば、ボクが、「ボクは嘘つきだ」と言ったとする。

もしこの言葉が「真実」であれば、ボクは「嘘つきである」ことになるが、
そうすると「嘘つきなのに、真実を言った」ことになってしまい、
おかしなことになる。

一方、この言葉が「嘘」だとすれば、
ボクは「正直者である」という事になるが、
そうすると、「正直者なのに、嘘を言った」ことになってしまい、
おかしなことになる。

結局、ボクの言葉が、真実でも、嘘でも、
おかしなことが発生してしまうのだ。
～～～～～～～～～～～～～～

☆　おそらく取り上げた事例がふさわしくない――つまり　ただの論理だけで
現実のものごとを扱っている――と思うのですが　このタトへなら　

　《ウソをつかない人間はいない》

と返しておしまいではないのだろうか？

定理がどうの数学的真理がこうのと言うまでのことではないのではないか？




具体的に見ても　その《ボク》が生きて来ている歴史においてその振る舞いを
実際に捉えてみれば　すぐ分かることだ。つまり：　

　《ほんとうのことを言う場合もあれば　ときにはウソをつくこともある》

と。あるいは：

　《社会に生きる人間であるなら　ホンネは違っていても止むを得ずタテマヘ
　に従わざるを得ないと――おのが心で――判断し　そのタテマヘに従うこと
　を　現実的なホンネとする》

ということ。――こうではないか？




もし　そうだとしたら・この限りで　このゲーデルの定理は　形式主義の数学
がそうであるように　現実から遊離した世界の中での或る種の真理をこそ・そ
してそれのみを扱っている・・・ということなのか？

それとも　そうではなく　まさしく人間の現実世界に対応している真理なのか？

どうなのでしょう？
なお　ヰキぺの解説を見ても数式がよく分かりませんので　言葉で表現しても
らえればさいわいです。

t_fumiaki · Answer

純粋に数学上の事柄を、数学以外に拡大解釈しない方が良いと思う。
あくまで、公理的に作られている数学の話だから・・。

不完全性定理は2個あり、それを正しく言うと
・第一不完全性定理
｢無矛盾な形式的体系は不完全である」

無矛盾：矛盾が無い。
矛盾：A→BとA→(not)Bが同時に証明出来てしまうこと。

形式的体系：公理から出発した論理体系。
命題の証明は論理図の積み上げを行い、最終的にトートロージー(A→A)になったら証明完了。
現在の数学はどの分野でもこうなっている。

不完全：完全では無い。
完全：その体系内の数学命題は全て、その体系内で証明可能。

・第二不完全性定理
「数学は矛盾が無い」事は、数学手法では証明出来ない。

Ku-Mei · Answer

不完全性定理というものを、現実世界に持ってきて理解しようとすると何がなんだか分からなくなります。不完全性定理は、論理的なシステムに対する定理です。
より正確に言えば、論理的なシステム A と B とがあって、A の中で「真であるが、真であることを（形式的に）証明することができない命題が存在する」ということを、(A の外側の)システム B で（形式的に）証明したのが、不完全性定理です。
このような観点から、メタマセマティックス（超数学）という言い方もします。

論理的なシステムに関して、それを外側（システムB)からみて議論していることに気がつかずに、中途半端に理解すると何がなんだか分からなくなります。

あなたが例に挙げた嘘つきのパラドックス（の変形バージョン）について言えば、ボクの中では解決できずにパラドックスになりますが、ボクの世界の外側（神様？）から見たら、ボクが嘘つきかどうかは分かるのではないでしょうか。

以上のことを踏まえて、じっくりと考えてみてください。

t_fumiaki · Answer

>>哲学としては　自由だとか良心だとかが　公理になるかと思いますが。

数学の公理は論理演算子で表現し、命題の証明は公理の論理演算子の積み上げだけで行ないます。
それを1個1個、普通の数学の言葉に置き換え変換すれば、見慣れた通常の証明になります。

哲学ではそんな演算子は無いし、積み上げも出来ないでしょう？

あくまで、純粋数学での話です。
形式主義の形式は、普段使う言葉の「形式」では無く、上の2行目・3行目の事を指します。

ナッキーナッキー · Answer

これは、結構昔から言われている事なのですが、
哲学者さんたちは、不完全性定理を拡大解釈しすぎていますね(^^;)
不完全性定理は、数学が公理化・抽象化する段階で（要するに、数学を”数える”事に関する学から脱皮させる段階）
その基礎となる数論（自然数論とから整数論とか・・・）から出てきた物です(^^)
数論では不完全性定理が成立してしまう → 数論を基本とする数学には不完全性定理が成り立ってしまう　って図式ですね(^^A)
でも、ゲーデルが哲学で問題になる「言語」について、不完全性定理を証明した事はありません(｀´；)
哲学での「言語」については、ラッセルやビトゲンシュタインなんかが考察しているんじゃないかと思います(－＿－)
それに、数学的記号論理学は別として、論理学上の「真」は現実世界の「真」を指しませんよね・・・
・・・ある意味、不完全性定理を現実世界に当てはめてしまう事は、この論理学上の「真」を現実世界の「真」に当てはめてしまう事と似ていると思いますよ(^^;)

あまり参考にならないと思いますが、許してやって下さいm(_ _)m

t_fumiaki · Answer

哲学も定義、公準を定めて、記号で表現すれば、何と無くですが、述語論理に近いものになり、完全性が証明されてしまう様な気がします。

述語論理(数理論理学)の世界では完全性の証明がされています。
Ｐ∧Ｑ、Ｐ∨Ｑ、¬Ｐ、Ｐ→Ｑ、Ｐ↔Ｑなどの見覚えのある記号を駆使する世界です。

suzumenokox · Answer

不完全性定理は「主観や感情の入らない純粋な論理による客観の世界の真理」①の一つで
それに対して現実の人間世界というのは「主観や感情といった精神活動によって発現した人為の世界の実態」②
だと言えると思います。
そして①の土台の上で自由に展開した②によって最先端の妥当と思われる価値観が構築され
さらにそこで可能になった模索から次の最先端の土台として①が進歩し
そこから新たな②、次の価値観への発展
ということが繰り返されるのが歴史の歩みだと考えていいのではないでしょうか。

そうやって人の世の中を認識すると
土台としての①はそれだけで人の世の中の真理にはなりえないが
実態と絡めて人の世の中を的確に把握して価値観を進歩させる要素の一つとして
欠くことはできない
という解釈が妥当なんだろうと思います。

suzumenokox · Answer

no.６です。
うそをつくということの分析には
人間性否定かどうかということがくさびになります。
人間にとって人間性否定がよくないというのがこの場合①で
それに照らして矛盾のないうそであれば
糾弾される筋合いのない創意として
次のより妥当と思われる価値観への進歩の過程の要素となる。
こんな解釈が妥当なんだろうと思います。

lupan344 · Answer

まず、数学が世界を全て解明するなどの大胆な発言は、数学者は行っていないです。
そういう意味では、ゲーデルの不完全性定理も、当然ながら、数学の形式の中でしか成り立ちません。
ですから、現実（この言葉自体も、哲学的には不完全だとは思います）と合っているとかの議論に乗るものではありません。
また、数学においても、不完全性定理が成り立っていても、数学基礎論の範囲でしか困難は無いでしょう。
一つ重要な点があるとしたら、引用されている自己言及のパラドックスに対する、対応の仕方です。
これは、実は、論理学的には、重要な意味を持ちます。
このような、対応をした場合は、実は、新たな公理（アプリオリな条件）を追加する事になります。
これが、一つで済むならば良いのですが、これが無限に続くとしたら、大変な事です。（有限個数の公理では納まらなくなります）
このような状態では、数学で扱える公理系とは、なりません。
実を言えば、数学でも実数の扱いが、その定義から難しいわけです。（実数は、その定義から全ての数を含むので、有限個数の公理で、その全てを表す事が不可能な可能性があります）
自然数などの場合は、単純に加算だけで、その定義を行う事が可能ですから、かりに無限個数があったとしても、有限の公理（定義）だけで、その集合を定義できます。
デデキントなどは、まずは自然数を定義し、その間に実数が埋め込まれていると言う発想で、連続な実数と言う概念を構成したわけですが、事実上それは、形而上の数と言っても過言では無いでしょう。（実際問題、現実世界でも、完全な連続と言う概念は、抽象的にしか得る事は不可能でしょう）
もともと、数の概念自体が、自然数以外は、アプリオリに定義する事が不可能なわけです。（クロネッカーなどは、「自然数は神が作った。　それ以外の数は人間が作ったものである」と考えていたようです）
数学に限らず、論理的にも、後出しじゃんけんできるとしたら、最初から公理系とは言えないわけです。
不完全性定理に特にこだわる必要は無いと思いますが、素朴論理学においても、その論理的整合性の研究は重要な問題です。
記号論理学などは、それを整理して、論理構造を明らかにし、論理的整合性を容易に判定できるようにしています。
述語に関しては、単純に状態を表すものなどは、公理から求められるものでは無いですから、その真・偽などは、元々、論理構造とは無関係です。
問題なのは、少なくとも、有限個の公理でなければ、人間はそれを検証できません。
抽象化により、その公理を有限個に押し込まなければならない問題が存在する事は確かでしょう。（適切な抽象化が可能かどうかが、問題だとは思います）

lupan344 · Answer

お礼ありがとうございます。
最後の引用されている自己言及のパラドックスですが、ゲーデルはそのようなものは使っていないです。
つまり、サイトの開設者が使用しているだけでしょう。
単純に、例が悪すぎると言う事です。（ちなみに自己言及のパラドックスとして、ゲーデルは、命題Gとして、「Gの証明は存在しない」を使用しています）

lupan344 · Answer

補足ですが、ゲーデルの不完全性定理は、数理哲学的には、意味を持つかもしれませんが、哲学とは直接関係ない事です。
あくまで、数学の範囲の話です。（有限個の話も、数学の範囲の話ですよ）
哲学的に、無限個の検証が可能かどうかは、また別の問題です。（それは、哲学で検証する内容でしょう）
以前ご紹介した、「Wの存在」などの問題と類似ですね。

不完全性定理って 現実から離れた数学としての真理なのか？ それとも 現実に即しているのか？

純粋に数学上の事柄を、数学以外に拡大解釈しない方が良いと思う。

不完全性定理というものを、現実世界に持ってきて理解しようとすると何がなんだか分からなくなります。

>>哲学としては 自由だとか良心だとかが 公理になるかと思いますが。

これは、結構昔から言われている事なのですが、

哲学も定義、公準を定めて、記号で表現すれば、何と無くですが、述語論理に近いものになり、完全性が証明されてしまう様な気がします。

不完全性定理は「主観や感情の入らない純粋な論理による客観の世界の真理」①の一つで

no.６です。

まず、数学が世界を全て解明するなどの大胆な発言は、数学者は行っていないです。

お礼ありがとうございます。

補足ですが、ゲーデルの不完全性定理は、数理哲学的には、意味を持つかもしれませんが、哲学とは直接関係ない事です。

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