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論理学の書籍(「論理学」・・・野矢茂樹・・・東京大学出版会)に紹介
されていた、"シェファーの棒"と呼ばれる記号の意味が理解できません。

曰く、当該論理記号の表記は"|"の一種類のみで、命題論理を
表現できるらしいのですが、上述の通り、恥ずかしながら記号の意味が
わからない状況です。

同書には、丁寧に真理値表も掲載されていたのですが、記号を日本語へ
翻訳できないため、一般的に使われる(?)論理記号である、∧、∨、¬、⊃
への変換ができません。練習問題として掲載はされていましたが、解答を
見ても疑問は解消されておりません。
     (参考・・・真理値表)
       P  Q  P|Q
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稚拙な質問で大変恐縮ですが、お知恵の拝借を賜りたく存じます。
宜しくお願い致します。

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A 回答 (3件)

普通のデジタル回路の表し方ですと簡単なんですが、シェファーの棒の書き方に慣れてないので、私が理解するまで時間がかかってしまいます。


この辺に、解答らしきものがありますので、参考にしてみてください。

真理値表
http://www.aoni.waseda.jp/hhirao/logic/no10.htm
解説
http://math.artet.net/?page=3&cid=24424
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この回答へのお礼

再び、ありがとうございます。

リンク先を参考にしたところ、シェファーの棒だけで、
論理記号(¬、∧、∨、⊃)を使わずに命題を表現する
証明ができました。

改めて深く御礼申し上げます。

お礼日時:2011/05/23 18:53

 #1さんの仰るように、¬(P∧Q)の真理値表だと思います。



 自分の知っている命題論理は、論理記号として¬と∨のみを使用し、⊃と∧は、以下の関係式の省略記法、

  (1)(¬P)∨Qを、P ⊃ Q と書く.
  (2)¬((¬P)∨(¬Q))を、P∧Q と書く.

と定義した上で、次の4つのシェマを与えます。

  (S-1)(P∨P) ⊃ P
  (S-2)(P∨Q) ⊃ (Q∨P)
  (S-3)P ⊃ (Q∨P)
  (S-4)(P⊃Q) ⊃ ((R∨Q)⊃(R∨P))

 ⊃が(1)より、¬と∨で表されるので、(S-1)~(S-4)の実質は、¬と∨の運用規則(公理)です。じっさい真理表を書いてみると、これらは恒真関係になっています。そして、次のショートカットを認めます(三段論法)。

  (C-1)Pが真で、P⊃Qが真なら、Qは真.

 P⊃Qの真理表も、(C-1)と一致するはずです。ただしこの路線には、真理表は出てきません。(S-1)~(S-4)を互いに代入しあって得た関係式に、(C-1)を適用し、¬¬P ⊃ P なんかを導いていきます。真理表を基礎におく方法でも、似たような手順になるのではないのかなぁ~?、と思います。

 で、「棒の真理値表」ですが、その表が¬(P∧Q)の真理値表に一致し、(2)から∧も、¬と∨で表せる事を考慮すると、自分には(S-1)~(S-4)と同等に見えます。表の1行目がそのまま(S-1)に該当するとかではなく、全体として同等という意味です。このあたり、真理値表の扱いに馴れた方なら、一瞬で計算できそうに思えるのですが、どなたかいらっしゃいませんか?^^。


 ¬(P∧Q)を(つまり¬と∨を)、シェファーの棒一本で表せるなら、馴れれば確かに便利かも知れませんよね?^^。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

論理記号として¬と∨のみを使用し、⊃と∧を定義する方法、
知りませんでした。

>(S-1)~(S-4)を互いに代入しあって得た関係式に、(C-1)を適用し、¬¬P ⊃ P なんかを導いていきます。
このあたりから、申し訳ありませんが、当方の勉強不足ゆえに
着いていけなくなってしまいました。

悔しいので、再度考えてみます。

お礼日時:2011/05/23 14:33

シェファーの棒は、私も知りませんでしたが、真理値表は否定論理積と同じですね。


検索してみると、同じ記号がありましたので、間違いなさそうです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86% …
※真理値表の書き方が、行と列で書いてあるので、質問者さんのと違うように見えますが、同じです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

確かに、否定論理積と同じ真理値表のようですね。
一歩前進したような気がいたしますが、どのように
考えれば、¬P、P∧Q、P∨Q、P⊃Qの真理値表が
作成できるのかが解りません。

否定論理積の真理値表とシェファーの棒で表される
真理値表を見ても、同じものなので、ここから先へ
進めない状況です。

お礼日時:2011/05/23 09:45

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A)の(2)から(3)、B)の(3)から(4)への変形が分かりません。

 理解できる範囲と理解できない範囲をもう少し明確にします。
A|Bが¬(A∧B)と同じ真理関数を表現するために、NAND(NOT+AND)と呼ばれることは分かります。
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A)の(2)から(3)、B)の(3)から(4)への変形が分かりません。

 理解できる範囲と理解できない範囲をもう少し明確にします。
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文章だけだと非常にわかりにくいことこの上ないですが、
実は小学校高学年から中学生にかけて算数の授業でやったはずの
『ド・モルガンの法則』のことですよね。

そんなもん知らん!というのであれば
四角の中に丸を二つ書いて色付けをする『ベン図』を
書けば、あああれか、と思い出すんじゃないでしょうか。
ベン図に適当に色をつけてみて、色が付いている部分を残さず言及できるなら
それは色がついてない部分を言及しているのと同じ、というやつです。


で、何に使うの?というと、上記のベン図の場合、
色が付いている部分への言及と色が付いていない部分への言及が同じなのですから
論理上、簡単に表現できるほうへ言い換えてもよい、ということになります。


算数では三日月のや弧の面積の計算のように、
計算しやすい方への書き換えを認めていますよね。
なんちゃらの定理~は、実はこういう外側から攻めて証明したものが多いです。

述語の活用でも、言いやすい方や短く表現できる方を選択してもよい、
あるいは、例外を全部証明することで本題の証明としても良い、ということでもあります。
(もちろんこの法則の前提と同じく、全体が明らかな場合に限るんですけど。)

さらに派生として、無限の場合はどうなるか、とか
哲学の研究分野としては論理否定(不合理)の場合には何が起きているか?
というネタもありますねー。

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