交流の平均値についてですが、
テキストにより

平均値=瞬時値を平均した値

とかいてありつつ、その下の式はEm(最大値)を使ってあります。

瞬時値を半周期で割るのか最大値を半周期で割るのかどちらなのでしょうか

瞬時値はある時刻の値で最大値は最大の値なので値が変わる瞬時値よりも最大値を使う方がただしいのかなとは思うのですが…

「交流の平均値についてですが、 テキストに」の質問画像

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A 回答 (2件)

平均値は、瞬時値を半周期で割ります(^^)


E=Emsinθ Em:最大値  を考えてみます
これの半周期の平均を計算してみますね(^^)
Ea=(1/π)∫[0~π] Emsinθdθ  ただし、積分範囲は[ ~ ]で示しました
Ea=(1/π)Em[-cosπ -(-cos0)] = (1/π)Em・2 = 2Em/π
となります(^^)
つまり、瞬時値の平均値をEmを使って表す事ができる(平均値を表すとEmが式に入り込む)って事です。
それから、
Ea=2Em/π = Em/(π/2) ですから、 「最大値を半周期で割る」事にはならず、1/4周期で割ることになります(^^;)

参考になれば幸いです(^^v)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました!微積分はまだちょっと分からないので申し訳ありませんが、瞬時値の平均値をEmを使って表す事ができると言うことが分かりましてすっきりしました!
ありがとうございましたm(__)m

お礼日時:2017/04/19 18:42

瞬時値とは測定を行った瞬間での値ですので、時刻と共に変化します。


ですので瞬時値を1個取り出しても意味はありません。

平均ですから、たとえば半周期の間に100回測定を行い、その値E(1)~E(100)としたとき
{E(1)+E(2)+E(3)+...+E(100)}/100
を計算したものが電圧の平均値です。
実際には連続した時間での平均をとるため、和で表したところを積分で計算することになります。

電圧の最大値をEm,周期をTとすると時刻tにおける瞬時値E(t)は
E(t)=Em*sin(2πt/T)
となります。(t=0のときE(0)=0としています。
Eaを求める式は
Ea=∫[t:0→T/2] Em*sin(2πt/T) dt/(T/2)
となります。回数で割る代わりに時間の幅で割っています。この積分を計算すると
Ea=2Em/π
となり、最大値の2/π倍であることがわかります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!微積分分からないのでせっかく詳しく説明していただいたのに計算が分からず申し訳ありません…

しかし「どっちなんだ?わけわからない」のが解消されました!
ありがとうございました!

お礼日時:2017/04/19 18:43

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今まで、『平均値=2/π×最大値』なんだと当たり前のように使ってきましたが、ふと疑問に思いました。

なぜ、(1)平均値を求めないといけないのか? (2)なぜ、平均値を求めるとき掛ける値が『2/π』なのか?

以上の2点について教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問者さんの言われる質問の内容は正弦波(交流)を前提にしてみえるようですね。

>(1)平均値を求めないといけないのか?

正弦波でのいう平均値は、全波整流波形の直流分に当たります。言い換えれば正弦波の正振幅の半周期波形の平均値といっても良いですね。計測器のメータが全波整流した波形の平均値を測定していることがあります。
計測の元になる電圧や電流は平均値を計測しているわけです。これが平均値を求める理由です。正弦波の真の平均値はゼロです。交流計器で測定する平均値は全波整流した波形の平均値で真の平均値ではありません。

なお、電圧計や電流計の目盛りは実効値に換算して目盛ってあります。
一方、実際に使われるのは実効値ですね。交流100V というのは実効値ですね。これは消費電力のワット数が実効値の電圧と電流の積で求められることからきています。

>(2)なぜ、平均値を求めるとき掛ける値が『2/π』なのか?

正弦波を簡単のため、最大値をAとして
f(t)=A sin(t)
とおくと
全波整流の平均値は振幅が正の半周期の波形の平均値と同じですから
平均値=(1/π)∫[0->π] A sin(t) dt
= -(A/π)cos(t)[0->π]
= (2/π)A
と質問の平均値が出てきます。

つまり、平均値は最大値Aに(2/π)をかけると出てくるわけです。

質問者さんの言われる質問の内容は正弦波(交流)を前提にしてみえるようですね。

>(1)平均値を求めないといけないのか?

正弦波でのいう平均値は、全波整流波形の直流分に当たります。言い換えれば正弦波の正振幅の半周期波形の平均値といっても良いですね。計測器のメータが全波整流した波形の平均値を測定していることがあります。
計測の元になる電圧や電流は平均値を計測しているわけです。これが平均値を求める理由です。正弦波の真の平均値はゼロです。交流計器で測定する平均値は全波整流した波形...続きを読む

Q単振動する、運動エネルギーの平均値と位置エネルギーの平均値

単振動する質点について、その1周期についての運動エネルギーの平均値と位置エネルギーの平均値は等しいのはなぜですか?

Aベストアンサー

「なぜ」という質問に答えるのはとても難しいのですが~。

つまるところ、「単振動の場合はたまたまそうだ」ということになってしまいます。

どこがたまたまかというと、たまたま、エネルギーの形が、

 E = mv^2/2 + kx^2/2

という形ですよね~。(^2は肩に上付きの2で2乗の意味。)同じことですが、運動量 p=mvなので、ほんとは、

 E = p^2/(2m) + kx^2/2

と書くほうがわかりやすいんですけど。この形で、p^2 と x^2 の形がどちらも「たまたま」2乗で、似てるところがポイントです。(v^2とx^2と言っても同じこと。)

運動エネルギーのほうはともかく、位置エネルギーが2乗なのは、「たまたま」そういう系を考えてるからなので、要するに運動エネルギーと位置エネルギーの平均値が等しくなるのも、「たまたま」ということになります。

しいて「たまたま」でなく必然の部分を言うと、振動を考えるときには、x^2が最もシンプルで基本的な形ということですね。運動エネルギーのほうも偶関数で一番シンプルなのがv^2ですし。だから一番基本的なもの(単振動)を考えると両方のべきが2乗になるので、それが原因で平均値が等しくなるわけです。

ただし、「たまたま」といっても、どんな系でも、小さい振動を考えると(xが小さいときには、x^2≪x^4≪x^6… なので)普通はこの一番基本的なものが実現するので、非常に重要なケースなんですけどね。

実は、物理における p と x の役割はある種の対称性があるんですよ~。解析力学や量子力学を学習されたことがあると見たことあると思いますが、pとxは対称(みたいなかんじ)なんです。だから、エネルギーの式で、両方とも2乗で入ってくると、平均値がちょうどぴったり等しくなってしまうのですよね~。

えー、じゃあ、pとxが対称なところを説明しましょうか。。。

運動方程式が単振動の場合、mv'=-kx ですが、p=mvより、
p' = - kx = - dE/dx
であり、また、p=mv自体が、
x' = p/m = dE/dp
です。。

つまり、p'=-dE/dx と x'=dE/dp です。。。

ここで目を細めると、マイナスがぼやけて見えなくなります(笑) すると、pとxの役割がちょうど裏腹になってるのが見えてくるはずです。(マイナスもあるし、ほんとのほんとに対称なわけではないですが。)

以上は大学生向けの答え…。

高校生向けだとすると、単振動だと、x = a sin(ωt+φ) ですが、これに対して速度は、v = aωcos(ωt+φ) となります。どちらも三角関数で、時間の原点をずらすと、(振幅は別として)同じ関数になります。ところが、位置エネルギー∝x^2、運動エネルギー∝v^2 で同じ形なので、平均すると同じになるというわけ。

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 =(運動エネルギーの最大値)

ということになり、エネルギーで見たときの振幅は等しくなるはずだから。

まーしかし、これも突き詰めると、やっぱり、エネルギーが∝x^2と∝v^2になってることと、xとvが対称に出来てることに帰着するので、やっぱりそこが「なぜ」の答えになります。

「なぜ」という質問に答えるのはとても難しいのですが~。

つまるところ、「単振動の場合はたまたまそうだ」ということになってしまいます。

どこがたまたまかというと、たまたま、エネルギーの形が、

 E = mv^2/2 + kx^2/2

という形ですよね~。(^2は肩に上付きの2で2乗の意味。)同じことですが、運動量 p=mvなので、ほんとは、

 E = p^2/(2m) + kx^2/2

と書くほうがわかりやすいんですけど。この形で、p^2 と x^2 の形がどちらも「たまたま」2乗で、似てるところがポイントです。(v^2と...続きを読む

Q瞬時値?実効値?

電気のことが全然わからないのですが、蛍光灯の照度の電圧をWE7000という機器で測ったのですが、瞬時値と実効値という意味がわかりません。違いを教えてください

Aベストアンサー

蛍光灯の照度は時間とともに変化しています。(電源周波数の2倍の周波数で変動する)
その結果、照度センサの出力電圧も時間ともに変化します。
変化する電圧の一瞬一瞬の値が瞬時値(多分、電圧波形として出力されたりするかと)
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です。
(実効値は、電力に対応させるのが容易な値になります。)

Q平均値と実効値について

v(t)=v(a)sinωt + v(b)cos2ωt + v(b)'sin2ωt + v(c)cos(3ωt+π) + v(d)sin(4ωt+(π/2)
上記の周期波形電圧v(t)の実効値と平均値を求めよという問題ですが、

実効値は1/√2 すれば良いと聞いて
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と考えてみましたが正しいでしょうか??

平均値はv(t)=v(a)sinωtのように少なければできますが
2つ以上になるとできません。
どのようにして解けば良いでしょうか?

教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定義は、T=2π/ωとして、
実効値をEとすると
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問題のv(t)の各成分の電圧は、直交しています。
m,nを整数として、
sin(nωt)・cos(mωt)やsin(nωt)・sin(mωt)の積分は0です。
そこで、実効値の方は
E^2=(1/T){v(a)^2+v(b)^2+v(b)^2+v(c)^2+v(d)^2}・T/2
E=(√2/2)√{v(a)^2+v(b)^2+v(b)^2+v(c)^2+v(d)^2}

平均値の方は、v(a)~v(d)が特定されないと、簡単には
計算できません。

Q2s軌道の極大値についてまたは平均値

水素様の2s軌道の動径部分は
R=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
a=ボーア半径、z=原子番号
で表されるそうで、
D=r^2*R^2を微分して軌道半径の極大値を求めれば良いはずですが、
分かりません。だれか、計算過程を含めて教えて下さい。
また、平均の軌道半径ってどうやって計算するのですか、教えて下さい。

Aベストアンサー

「R=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
a=ボーア半径、z=原子番号
で表されるそうで、
D=r^2*R^2を微分して軌道半径の極大値を求めれば良いはずですが」
ということですので、

計算の参考程度まで

K=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)
R(r)=K*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
R(r)^2=K^2*(2-Z*r/a)^2exp2(-zr/2a)
=K^2*(2-Z*r/a)^2exp(-zr/a)=K^2{4- 2*Z*r/a+(Z*r/a)^2}exp(-zr/a)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3(Z/a)+r^4(Z/a)^2)}exp(-zr/a)
(Z/a)=A
dD/dr=K^2{8r-6r^2A+4r^3A^2)}exp(-Ar)+
K^2{4r^2-2r^3A+r^4A^2)}(-A)exp(-Ar)
=K^2[8r-10r^2A+6r^3A^2-r^4A^3]exp(-Ar)
K>0, exp(-Ar)>0, r>0
{8r-10r^2A+6r^3A^2-r^4A^3}=0
r{8-10rA+6r^2A^2-r^3A^3}=0
8-10rA+6r^2A^2-r^3A^3=0
rA=x
x^3-6x^2+10x-8=0
x=(y+2)
y^3+6y^2+12y+8-6(y^2+4y+4)+10(y+2)-8=0
y^3-2y-4=0
y=2, 8-4-4=0
(y-2)(y^2+2y+2)=0
y=(-2±√4-8)/2=-1±j
だから、x=4, 1±j の時、極大、極小をとるんですね。
極大 rA=4 r=4/A A=(Z/a)
K=(1/2*2^0.5)*(A^1.5)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3A+r^4A^2)}exp(-Ar)
=K^2{4(4/A)^2-2(4/A)^3A+(4/A)^4A^2)}exp(-4)
=K^2{(64/A^2)-(128/A^2)+(256/A)^2)}exp(-4)
=K^2{(192/A^2)}exp(-4)
R(r)=K*(2-rA)exp(-Ar/2)=K*(2-4)exp(-4/2)
=K*(-2)exp(-2)

あってるかどうかは要確認のこと。
平均は?ですが,
普通の平均値の算出式√{(1/4π)∫R^2dr}
平面だと(1/2π)みたいなものをを使うのでは。
参考程度まで

「R=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
a=ボーア半径、z=原子番号
で表されるそうで、
D=r^2*R^2を微分して軌道半径の極大値を求めれば良いはずですが」
ということですので、

計算の参考程度まで

K=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)
R(r)=K*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
R(r)^2=K^2*(2-Z*r/a)^2exp2(-zr/2a)
=K^2*(2-Z*r/a)^2exp(-zr/a)=K^2{4- 2*Z*r/a+(Z*r/a)^2}exp(-zr/a)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3(Z/a)+r^4(Z/a)^2)}exp(-zr/a)
(Z/a)=A
dD/dr=K^2{8r-6r^2A+4r^3A^2)}exp(-Ar)+
K^2{4r...続きを読む


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