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1/x+1/y≦1/2 , 2<x,2<yのとき、2x+yの最小値を求めよ。

よろしくお願いします!

A 回答 (4件)

この方が視覚的にわかりやすいかな。



以下、xy座標平面とグラフを書いて下さい。

y>0に注意して1/x + 1/y≦1/2を変形すると、
y≧4/(x-2) +2となるから、x, yの範囲は、この双曲線の右上。
2x+y=kとおくと、y=-2x+kで、kはこの直線のy切片(y軸との交点)。
なので、座標平面で見れば判るように、kが最小になるのは、双曲線と直線が接するとき。
双曲線の式を微分すると、
y'=(-4)/(x-2)^2
となるから、x=tで接するとすると、
(-4)/(t-2)^2=-2
従って、t=2+√2
これが、kが最小となるxで、そのときyは、
y=2+2√2
よって、kの最小値は、
2x+y=2(2+√2)+2+2√2=6+4√2
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2x+y=a とすると、y=a-2x


これを条件の式 (1/x)+(1/y)<=1/2 に代入して整理すると
(下に凸なxの二次式)<=0 の形になる
(下に凸なxの二次式)=0 が解を持つ条件から
(下に凸なaの二次式)=>0 となって
a>=0 なので aの最小値が求められます

正しく計算する力だけで解くゴリ押しの手法ですが、解はでます
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あ, ちょっと勘違いしてた.



2x+y = 2(x-2)+(y-2) + 6 ≧ 2√[2(x-2)(y-2)] + 6 ≧ 2√(2×4) + 6 = 4√2+6
だ.
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12 かな.

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この回答へのお礼

もしよろしければ、解き方など教えていただけないでしょうか。

お礼日時:2017/05/10 01:28

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より
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-------------------------------------------------
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--------------------------------------------------

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-----------------------------------------------
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公的な研究機関の研究者です。
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数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

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「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認めません。
表面的でいいですから、間違いを受け入れましょう。
別の先生に言ったところで、その先生のプライドを傷つけて、目をつけられるだけです。

数学は、「正しいこと」が理解できていれば十分です。
テストの点数なんてどうでもいいじゃないですか。
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「大嫌いなあの先生に一泡吹かせる」
が目的ならば、追求すればいいですが、
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公的な研究機関の研究者です。
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3^m - 1 (mが奇数) を素因数分解した時の2の指数は何かという問題について

回答はもっと上手いやり方で9÷8=1…1 を使ってやっていましたが思いつかなかったので数学的帰納法でやりました
果たして証明できているか不安です
ご確認お願いします

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より素因数分解した時の2の指数は1である

②m=kのとき(kは奇数)
3^k -1= 2×(奇数A) とすると
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=2×[ (奇数A)×9 -8]

となり[]内の値は奇数であるからm=k+2の時も素因数分解した時の2の指数は1である

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x^n -1=(x-1){x^(n-1) +x^(n-2) +… +x^2 +x +1}
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3^m -1
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=2{3^(m-1) +3^(m-2) +… +3^2 +3 +1}
とできる。

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{}内は奇数を奇数個足し合わせになることから、奇数。

よって、mが奇数のとき 3^m -1 は、2×奇数 で表される。
したがって、2の指数は1だといえる。


----------
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