1/x+1/y≦1/2 , 2<x,2<yのとき、2x+yの最小値を求めよ。 よろしくお願いします！

1/x+1/y≦1/2 , 2<x,2<yのとき、2x+yの最小値を求めよ。

よろしくお願いします！

No.4 回答者： springside 回答日時： 2017/05/10 16:36

この方が視覚的にわかりやすいかな。

以下、xy座標平面とグラフを書いて下さい。

y>0に注意して1/x + 1/y≦1/2を変形すると、
y≧4/(x-2) +2となるから、x, yの範囲は、この双曲線の右上。
2x+y=kとおくと、y=-2x+kで、kはこの直線のy切片(y軸との交点)。
なので、座標平面で見れば判るように、kが最小になるのは、双曲線と直線が接するとき。
双曲線の式を微分すると、
y'=(-4)/(x-2)^2
となるから、x=tで接するとすると、
(-4)/(t-2)^2=-2
従って、t=2+√2
これが、kが最小となるxで、そのときyは、
y=2+2√2
よって、kの最小値は、
2x+y=2(2+√2)+2+2√2=6+4√2

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2017/05/10 10:50

2x+y=a とすると、y=a-2x

これを条件の式　(1/x)+(1/y)<=1/2 に代入して整理すると
(下に凸なxの二次式)<=0 の形になる
(下に凸なxの二次式)=0 が解を持つ条件から
(下に凸なaの二次式)=>0 となって
a>=0 なので aの最小値が求められます

正しく計算する力だけで解くゴリ押しの手法ですが、解はでます

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/10 01:56

あ, ちょっと勘違いしてた.

2x+y = 2(x-2)+(y-2) + 6 ≧ 2√[2(x-2)(y-2)] + 6 ≧ 2√(2×4) + 6 = 4√2+6
だ.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/10 01:00

12 かな.

この回答へのお礼

もしよろしければ、解き方など教えていただけないでしょうか。

お礼日時：2017/05/10 01:28