極限値を求める問題

以下の問題を自分で考えても分からなく、問題集に解説もついていないので、どなたか解説を教えていただけないでしょうか。

問い、次の極限値を求めよ

(1) lim[x→-∞] x^2＋2x＋3/x^3＋5x

(2)lim[x→∞] 3^x+5/2^x+3^x

(3) lim[x→-∞] 3・5^x-2/5^x＋3

よろしくお願い致しますm(__)m

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい、訂正です
  
  (1) lim[x→-∞] (x^2＋2x＋3)/(x^3＋5x)
  
  (2)lim[x→∞] (3^x+5)/(2^x+3^x)
  
  (3) lim[x→-∞] (3・5^x-2)/(5^x＋3)

    補足日時：2017/05/16 18:29

• 質問に訂正を加えましたm(__)m

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/16 19:55

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/05/17 12:02

(1)　分母・分子を　x^3　で割る

(2)　分母・分子を　3^x　で割る
(3)　分母・分子を　5^x　で割る
で解けるのでは？


　　　　　　　　　　x^2＋2x＋3
(1)　lim[x→-∞] 　－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　x^3＋5x


　　　　　　　　　１　　　　２　　　　 ３
　　　　　　　　　－　+　－－－　+　－－－
　　　　　　　　　ｘ　　　ｘ^2　　　 x^3
＝　lim[x→-∞] 　－－－－－－－－－－－－ー
　　　　　　　　　　　　　　　　5
　　　　　　　　　　　１　+　ーーー
　　　　　　　　　　　　　　 　x^2


　　　０＋０＋０
＝　－－－－－－－
　　　　１＋０

　　０
＝　－
　　１

=　０

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/05/18 22:46

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/05/17 15:17

式変形をすると、(2)は

(3^x+5)/(2^x+3^x)=(3^x+2^x-2^x+5)/(2^x+3^x)
=1 +(-2^x+5)/(2^x+3^x)

同様に(3)は
(3・5^x-2)/(5^x＋3) =(3・5^x +9-9-2)/(5^x＋3)
=(3・5^x +3・3 -11)/(5^x＋3)
=3 -11/(5^x＋3)
となるので、それぞれ極限をとれば十分でしょう。


ところで、
計算問題で極限値を求めることはそれほど難しくありません。
たとえばx→∞の場合、一番大きくなる変数だけを注目すればよいからです。

ですので、(1)の問題
lim[x→-∞] (x^2＋2x＋3)/(x^3＋5x)　の場合は
一番大きくなる変数はx^3なので、それ以外を消すと直感的に0だと予想できます。
ですがそれだと体裁が悪いので、分子の中で一番大きい変数を残して
lim[x→-∞] x^2/x^3 =lim[x→-∞] 1/x
としてもかまいません。結果は同じ値になります。

同様に、(2)は
lim[x→∞] (3^x+5)/(2^x+3^x)
一番大きくなる変数は3^xです。ですからそれ以外を消したもの
lim[x→∞] 3^x/3^x =lim[x→-∞] 1 と同じ値になります。

(3)は
lim[x→-∞] (3・5^x-2)/(5^x＋3)
一番大きくなる変数は5^xです。それ以外を消すと
lim[x→∞] 3・5^x/5^x =lim[x→-∞] 3 となり同じ値になります。

この考え方は、発散する値が早いものから見ると、
他の遅いものは無視できる（ほど小さい）という
少々乱暴な考え方からきています。
ですのでテストの解答にはあまり向いていません。
ですが解答を予想する上ではとても役に立ちます。


どうやら極限値を求める問題に慣れていないようなので、
まずはNo.2の方のやり方で覚えるほうがよいでしょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/05/18 22:47

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/16 18:05

分子と分母が明確にわかる形で書いてもらえませんか?