以下の問題を自分で考えても分からなく、問題集に解説もついていないので、どなたか解説を教えていただけないでしょうか。

問い、次の極限値を求めよ

(1) lim[x→-∞] x^2+2x+3/x^3+5x

(2)lim[x→∞] 3^x+5/2^x+3^x

(3) lim[x→-∞] 3・5^x-2/5^x+3

よろしくお願い致しますm(__)m

質問者からの補足コメント

  • ごめんなさい、訂正です

    (1) lim[x→-∞] (x^2+2x+3)/(x^3+5x)

    (2)lim[x→∞] (3^x+5)/(2^x+3^x)

    (3) lim[x→-∞] (3・5^x-2)/(5^x+3)

      補足日時:2017/05/16 18:29
  • 質問に訂正を加えましたm(__)m

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/05/16 19:55

A 回答 (3件)

(1) 分母・分子を x^3 で割る


(2) 分母・分子を 3^x で割る
(3) 分母・分子を 5^x で割る
で解けるのでは?


          x^2+2x+3
(1) lim[x→-∞]  --------
           x^3+5x


         1    2     3
         - + --- + ---
         x   x^2    x^3
= lim[x→-∞]  ------------ー
                5
           1 + ーーー
                x^2


   0+0+0
= -------
    1+0

  0
= -
  1

= 0
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/05/18 22:46

式変形をすると、(2)は


(3^x+5)/(2^x+3^x)=(3^x+2^x-2^x+5)/(2^x+3^x)
=1 +(-2^x+5)/(2^x+3^x)

同様に(3)は
(3・5^x-2)/(5^x+3) =(3・5^x +9-9-2)/(5^x+3)
=(3・5^x +3・3 -11)/(5^x+3)
=3 -11/(5^x+3)
となるので、それぞれ極限をとれば十分でしょう。


ところで、
計算問題で極限値を求めることはそれほど難しくありません。
たとえばx→∞の場合、一番大きくなる変数だけを注目すればよいからです。

ですので、(1)の問題
lim[x→-∞] (x^2+2x+3)/(x^3+5x) の場合は
一番大きくなる変数はx^3なので、それ以外を消すと直感的に0だと予想できます。
ですがそれだと体裁が悪いので、分子の中で一番大きい変数を残して
lim[x→-∞] x^2/x^3 =lim[x→-∞] 1/x
としてもかまいません。結果は同じ値になります。

同様に、(2)は
lim[x→∞] (3^x+5)/(2^x+3^x)
一番大きくなる変数は3^xです。ですからそれ以外を消したもの
lim[x→∞] 3^x/3^x =lim[x→-∞] 1 と同じ値になります。

(3)は
lim[x→-∞] (3・5^x-2)/(5^x+3)
一番大きくなる変数は5^xです。それ以外を消すと
lim[x→∞] 3・5^x/5^x =lim[x→-∞] 3 となり同じ値になります。

この考え方は、発散する値が早いものから見ると、
他の遅いものは無視できる(ほど小さい)という
少々乱暴な考え方からきています。
ですのでテストの解答にはあまり向いていません。
ですが解答を予想する上ではとても役に立ちます。


どうやら極限値を求める問題に慣れていないようなので、
まずはNo.2の方のやり方で覚えるほうがよいでしょうね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/05/18 22:47

分子と分母が明確にわかる形で書いてもらえませんか?

この回答への補足あり
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