次の命題を考える。 任意のa∈Rに対して、あるb∈Rが存在して、a<bが成り立つ。 上の命題の真偽を

次の命題を考える。
任意のa∈Rに対して、あるb∈Rが存在して、a<bが成り立つ。
上の命題の真偽を答えよ。

僕はbは「ある」だから１つしか取れないので偽だと思ったのですが、合っていますか？
これの証明方法がわかりません。
教えて下さい！

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/06/14 08:10

その命題の意味は、「どんな実数でも、それより大きい実数が存在する」ということなので、真です。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/14 08:12

真

証明も何も、実数には最大値な無いから2実数a,bでa<bとなる物が必ず存在する。

ε>0とした時
a-b<εを満たすεは無数に存在するから、a<bを満たすbは無数に存在する。

Ｒ(実数)をQ(有理数)、Z(整数)に変えても同じ。

No.3 回答者： funoe 回答日時： 2017/06/14 18:40

命題は、「どんな実数ａに対しても、ａ＜ｂが成り立つような実数ｂが(少なくとも１個)存在する。

」です。　　真です。

蛇足かもしれませんが、これの否定は
「ある実数ａに対しては、　ａ＜ｂが成り立つような実数ｂが一つも存在しない」です。　そんなａは無いのでこっちは偽です。

－－
冒頭の命題の証明は、実数の大小関係（ひいては、実数そのもの）をどう定義したか次第です。
　（ａ＜ａ＋１　っていうのを利用したいので、これをどう証明するか・・ですね）

ちなみに「実数」ってところを「有理数」「整数」「自然数」に置き換えてもこの命題は真ですね。

自然数の大小関係なら、　「　ａ＋ｂ＝ｃとなるｂが存在する　⇔　ａ＜ｃ　」って定義がポピュラーなので
この定義からただちに、　ａ＜ａ＋１　が示され、冒頭の命題が証明（ｂとしてａ＋１とすれば良い）されます。