∫√(x^2-x)dxの解き方を教えてください。

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質問者：awe
質問日時：2017/07/04 18:52
回答数：3件

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回答 (3件)

No.1

回答者： springside
回答日時：2017/07/04 21:19

答は、

(1/4) √(x^2-x) [ 2x - 1 - log{√(x-1)+√x} / √(x^2-x) ]

です。

過程は、かなりの分量になり、また、入力がなかなか大変なので、ご勘弁を。

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この回答へのお礼

ありがとうございますm(_ _)m

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お礼日時：2017/07/05 13:20

No.2

回答者： rabbit_cat
回答日時：2017/07/04 23:37

高校生だとすると、かなり手ごわい問題ですね。

ただし、おそろしいことに、この積分は、大学受験でも出題される可能性はゼロではありません。
大学受験生としては、下の(1)までやって、
∫ √(u^2 - 1) du
に帰着させたあと、
t = u+√(u^2 - 1)
と置換する、というのが王道のようです。（高校では、双曲線関数を習わないので）
こんな置換は知っていなければ、その場で思いつくことはありえないわけで、単純に暗記力勝負の問題ということになりますね。

高校生ではなくて、大学生なら普通に解けないといけないと問題です。
簡単な方針だけ書くと、

(1) 平方完成して
　√(x^2-x) = √{(x-1/2)^2 - 1/4}
x-1/2 = u/2 と置換して、
　∫ √(u^2 - 1)du
の積分に帰着させる。

(2) u=cosh(v) と置換して、
　∫ sinh^2(v) dv

(3) sinh の２倍角の公式を使って、
　∫ sinh^2(v) dv = ∫ (cosh(2v)-1)/2 dv = sinh(2v)/4 - v/2 + C

みたいな感じですかね。