素数の平方の階差数列について

「5以上の素数の平方の数列{5^2,7^2,11^2,13^2,17^2,19^2,23^2…=25,49,121,169,289,361,529}の階差数列{24,72,48,120,72,168,312,120…}の全ての項は24の倍数となる。」
素数の性質についていろいろと殴り書きしていたら気づいたのですが、この予想は正しいのでしょうか？　中２の私にもわかるようにおしえて頂けましたら幸いです。

質問者からの補足コメント

• すみません。「又、p,qが共に3の倍数でないとp-qかp+qのどちらかが3の倍数となり、5以上の素数に3の倍数がないので不適。」という部分がわかりません。　理解力が乏しくてすみません。。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/29 00:03

No.1 ベストアンサー 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/07/28 23:44

はい。

素数の性質上、５以上の素数をとってあげれば平方の階差をとれば24の倍数になります。

少しおかしいところがあるかもしれませんが、証明も書いてみました。

No.3 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/07/29 00:48

No.1(anshinyuusou)です。

回答します。

１）p=3m+1、q=3n+1の場合

p-q=3(m-n)より、p-qが3の倍数となり不適。

２）p=3m+1、q=3n+2の場合

p+q=3(m+n+1)となりp+qが3の倍数となり不適。

３）p=3m+2、q=3n+1の場合

p+q=3(m+n+1)となり、p+qが3の倍数となり不適。

４）p=3m+2、q=3n+2の場合

p-q=3(m-n)となり、p-qが3の倍数となり不適。

pとqを3で割った余りで場合分けしてチェックしました。

p+q、p-qは5以上の素数となるはずなので、3の倍数になるのはおかしいです。

なので、pかqのどちらかは3の倍数にならないといけないわけです。

この回答へのお礼

よくわかりました。ありがとうございます。素数の性質がまたひとつわかりました。２４の倍数というのは不思議と思いましたが、意外と簡潔に証明できるんですね。

お礼日時：2017/07/29 08:25

No.2 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/07/28 23:53

証明が分かりにくい部分があるので補足します。

『ある素数とその次の素数は、この２つの素数の平均である自然数pとある自然数qを用いてp+q、p-qと表される』（少し書き換えました）

ここはどういう意味かというと、5以上の素数は全て奇数ですよね。なので、例えば

7と11の連続した素数を持ってくると、その平均は(7+11)÷2=9となり、7と11は9-2、9+2と表されますよね。p=9、q=2という感じです。

奇数+奇数は必ず偶数となるので、ある奇数とある奇数の平均は必ず整数となるのです。