三平方の定理の証明について、 三平方の定理は面積を用いて証明されるものがおおいですが、まず面積という

三平方の定理の証明について、
三平方の定理は面積を用いて証明されるものがおおいですが、まず面積というもの自体が自分にとって曖昧なのでその面積を使って証明されても納得できません。
まず面積が足し合わせることができること、そして面積がある図形において一意的に定まることを前提としなければ、多くの証明はできないと思いますが、これらはどのように証明されるのでしょうか？
自分で調べてみるとアインシュタインが相似比を使った三平方の定理の証明を見つけました。
逆にこうやって三平方の定理が成り立つことが証明されれば面積について足し算可能であることや一意性を認めることができるのですが、もちろんアインシュタインが生まれる前から三平方の定理はあるわけで、昔の人は面積を絶対的なものだと捉えていたのでしょうか？

No.1 回答者： mapascal 回答日時： 2017/08/22 06:27

三平方の定理かどうかは知らないけど、エジプトのピラミッドも高度な数学の上で出来上がったのでしょう。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/22 07:07

面積の相加性(全体が部分の和であること)を信じないのであれば

長さの相加性はいいんですか?

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/22 07:27

面積は足し算可能という前提(公準：約束毎）の元で決めたもの。

決め事なんだけど。

「1辺が1の正方形の広さを面積1とする」と決めた訳。

あとは、色々な形（図形）では、1辺が1の正方形が何個入ってるかを計算して面積を出している。

長方形の面積は縦×横、では無くて、1辺が1の正方形が縦に何個入って、これが横に何列入ってるかを計算してる訳。

1辺が1の正方形が何個入ってるかが面積なんだ。

この回答へのお礼

つまり例えば面積が4×5っていうのは（縦横1の正方形）を横に4倍し、その大きさを縦に5倍した面積の大きさっていうことですか？
ある図形に入る個数は一意的に定まるのも公理ですかね？

お礼日時：2017/08/22 08:31

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/22 08:26

>昔の人は面積を絶対的なものだと捉えていたのでしょうか？

尊大だな(^^;

「計量」で検索した方が良いでしょう。
まだ早いとは思いますが・・・

まず既存のコークリッドの計量を認めてその性質を学び、
それを崩したらどうなるかを学ぶのが順序なんで、
最初から何も認めませんでは何も先に進まないとでしょうね。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/22 11:50

>>つまり例えば面積が4×5っていうのは（縦横1の正方形）を横に4倍し、その大きさを縦に5倍した面積の大きさっていうことですか？

違いますよ。
大きさを何倍とかしたんでは、約束に反するでしょう。
約束は「縦横1の正方形の面積を1とする」です。

縦横1の正方形が縦方向に4個、それが横方向に5列、都合20個入ってるから20になるんです。

No.6 回答者： uyama33 回答日時： 2017/08/27 23:20

面積がある図形において一意的に定まることを前提としなければ、多くの証明はできないと思いますが、これらはどのように証明されるのでしょうか？

このうちの、
面積がある図形において一意的に定まることを前提としなければ
の部分ですが、

少し昔の人は、
”面積がある図形において一意的に定まる”
とは思ってはいなかったと思います。
図形の面積が定まるのは、
外測度と内測度が一致する場合だけであり、
一致しない場合は面積を定めることはできないと考えていた
のではないでしょうか。

かなり昔から、
円の面積を考えるときには、円の中に入る多角形の面積と
円を取り囲む多角形の面積の両方を考えていたと思います。

昔の人は面積を絶対的なものだと捉えていたのでしょうか？
この部分の意味が、図形には面積が必ずあると捉えていたのか
と言う意味ならば、
答えはそうではない。