正規分布に関する問題です。回答と解説をお願いします。

ある工場で生産している機会部品の寸法X（mm)は正規分布N（23.0,04二乗）に従っている。このときXが23.5以上となる確率は約？？？%である。またXが22.6から22.8の間となる確率は約？？？%である。Xが？？？以上となる確率は５%である

（23.0,04二乗）ってどういうことですか？
丁寧に教えてもらえるとありがたいです。よろしくです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/31 11:22

正規分布は N(23.0, 0.4^2) ですか？　 N(23.0, 4^2) ではあまりに精度が悪すぎるし。

　これは「平均が 23.0 mm、標準偏差が 0.4 mm」と言っているのだということは分かりますよね？　（「0.4^2」は「分散」です。標準偏差は分散の平方根です）
　とにかく、「正規分布は統計の基本中の基本」ですので、 N(23.0, 0.4^2) という表記すら分からないということでは、お先真っ暗です。悪いことは言わないので、「正規分布」だけは理解しておいてください。これが分からないと、この先は「全滅」ですから。

　ご承知とは思いますが、「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称にダラ下がりの分布です。横軸が「確率変数：Z」（お示しの場合には「寸法 X」）、縦軸が「度数」（お示しの場合には「部品の数」）。
　このとき、標準偏差を「σ」として、
　　Z=平均値± σ　の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
　　Z=平均値±2σ　の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
　　Z=平均値±3σ　の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
という特性があります。
↓　この図でイメージをつかんでください。見たことがありますよね？
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

　これを、σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方にすると
　　Z=平均値± 1.65σ　の範囲に、全体の度数の 90.0% が入る
　　Z=平均値± 1.96σ　の範囲に、全体の度数の 95.0% が入る
　　Z=平均値± 2.57σ　の範囲に、全体の度数の 99.0% が入る
ということになります。

　この「正規分布の特性」が分かれば簡単に解けますし、これを理解していなければ永遠に解けません。

（１）「Xが23.5以上となる」というのは
　　X が 平均値(23.0) + 1.25σ 以上になる
ということです。

　これは、どのテキストにも載っている（ネット上にもたくさんある）「標準正規分布表」を使えば（例えば下記）
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html
　Z = 1.25 に相当する「上側確率」（表の中の数値）は　0.10565
つまり、
　X が 平均値(23.0) + 1.25σ 以上になる確率は 0.10565
ということです。有効数字3桁の％なら「10.6%」。

（２）「Xが22.6から22.8の間となる」というのは
　　　X が 平均値(23.0) - 1.00σ ～ 平均値(23.0) - 0.50σ になる
ということです。
　上記の「標準正規分布表」は左右対称ですから、この確率は
　・X が 平均値(23.0) - 1.00σ 以下となる確率　＝　X が 平均値(23.0) + 1.00σ 以上になる確率
　　　0.158655
　・X が 平均値(23.0) - 0.50σ 以下となる確率　＝　X が 平均値(23.0) + 0.50σ 以上になる確率
　　　0.308538
の差であることが分かりますね？
　つまり
　　　0.308538 - 0.158655 = 0.149883 ≒ 0.150
で、
　X が 平均値(23.0) - 1.00σ ～ 平均値(23.0) - 0.50σ になる確率は 15.0％
ということです。

（３）「Xが？？？以上となる確率は５%である」というのは、「上側確率が 5% = 0.05 以下になるのは、
　　X が 平均値(23.0) + σの何倍　以上のときか 」
ということです。

　上記の「標準正規分布表」の「表の中の数値」が0.05以下になる Z の値が、求める「 σの何倍」に対応します。
　上記の「標準正規分布表」からは
　　「表の中の数値」が0.05以下になる Z の値は　1.65 である
　　(Z ≧ 1.65 なら、表の中の数値は 0.05 以下になっている）
と読み取れます。

　つまり、
　　X が 平均値(23.0) + 1.65σ 以上になる確率は 0.05
ということです。このときの X の値は
　　X = 23.0 + 0.4 * 1.65 = 23.66 ≒ 23.7 (mm)
ということになります。