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正規分布は N(23.0, 0.4^2) ですか? N(23.0, 4^2) ではあまりに精度が悪すぎるし。
これは「平均が 23.0 mm、標準偏差が 0.4 mm」と言っているのだということは分かりますよね? (「0.4^2」は「分散」です。標準偏差は分散の平方根です)
とにかく、「正規分布は統計の基本中の基本」ですので、 N(23.0, 0.4^2) という表記すら分からないということでは、お先真っ暗です。悪いことは言わないので、「正規分布」だけは理解しておいてください。これが分からないと、この先は「全滅」ですから。
ご承知とは思いますが、「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称にダラ下がりの分布です。横軸が「確率変数:Z」(お示しの場合には「寸法 X」)、縦軸が「度数」(お示しの場合には「部品の数」)。
このとき、標準偏差を「σ」として、
Z=平均値± σ の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
Z=平均値±2σ の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
Z=平均値±3σ の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
という特性があります。
↓ この図でイメージをつかんでください。見たことがありますよね?
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …
これを、σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方にすると
Z=平均値± 1.65σ の範囲に、全体の度数の 90.0% が入る
Z=平均値± 1.96σ の範囲に、全体の度数の 95.0% が入る
Z=平均値± 2.57σ の範囲に、全体の度数の 99.0% が入る
ということになります。
この「正規分布の特性」が分かれば簡単に解けますし、これを理解していなければ永遠に解けません。
(1)「Xが23.5以上となる」というのは
X が 平均値(23.0) + 1.25σ 以上になる
ということです。
これは、どのテキストにも載っている(ネット上にもたくさんある)「標準正規分布表」を使えば(例えば下記)
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html
Z = 1.25 に相当する「上側確率」(表の中の数値)は 0.10565
つまり、
X が 平均値(23.0) + 1.25σ 以上になる確率は 0.10565
ということです。有効数字3桁の%なら「10.6%」。
(2)「Xが22.6から22.8の間となる」というのは
X が 平均値(23.0) - 1.00σ ~ 平均値(23.0) - 0.50σ になる
ということです。
上記の「標準正規分布表」は左右対称ですから、この確率は
・X が 平均値(23.0) - 1.00σ 以下となる確率 = X が 平均値(23.0) + 1.00σ 以上になる確率
0.158655
・X が 平均値(23.0) - 0.50σ 以下となる確率 = X が 平均値(23.0) + 0.50σ 以上になる確率
0.308538
の差であることが分かりますね?
つまり
0.308538 - 0.158655 = 0.149883 ≒ 0.150
で、
X が 平均値(23.0) - 1.00σ ~ 平均値(23.0) - 0.50σ になる確率は 15.0%
ということです。
(3)「Xが???以上となる確率は5%である」というのは、「上側確率が 5% = 0.05 以下になるのは、
X が 平均値(23.0) + σの何倍 以上のときか 」
ということです。
上記の「標準正規分布表」の「表の中の数値」が0.05以下になる Z の値が、求める「 σの何倍」に対応します。
上記の「標準正規分布表」からは
「表の中の数値」が0.05以下になる Z の値は 1.65 である
(Z ≧ 1.65 なら、表の中の数値は 0.05 以下になっている)
と読み取れます。
つまり、
X が 平均値(23.0) + 1.65σ 以上になる確率は 0.05
ということです。このときの X の値は
X = 23.0 + 0.4 * 1.65 = 23.66 ≒ 23.7 (mm)
ということになります。
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