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高校数学の問題です。円周を12等分した点を反時計回りの順P1P2P。。。P12とする、このうち異なる3点を選び、選んだ3点を頂点とする三角形を作る。
(1)三角形は全部で何個できるか、また、このうち正三角形、および直角三角形はそれぞれ何個できるか。
(2)二等辺三角形(正三角形も含む)となる確率を求めよ。
(3)鋭角三角形となる確率を求めよ。
(4)三角形のうち合同であるものを一種類と数えることにする。このとき、何種類の三角形ができるか。例えば。△P1P2P3とΔP2P3P1は合同な三角形であるため、一種類と数え、△P1P2P3と△P1P3P4は合同でないため二種類と数える。

この問題の⑶⑷を教えてください

「高校数学の問題です。円周を12等分した点」の質問画像

A 回答 (2件)

(1)


i) 一般の三角形は12点中3点を選ぶと
12C3=12・11・10/3・2・1=220 //
ii) 正三角形は1つの頂点が決まると他の頂点は確定するので、被りを省くと
12/3=4 //
iii) 直角三角形の斜辺は直径である。直角の頂点は残りの点となる。
直径は6本引け、残った点はそれぞれ10個あるので
6・10=60 //

(2) 二等辺三角形の頂角の反対側は等角とはなり得ない。対称性を考慮すると1つの等角となり得るのは5つである。よって
12・5=60
この時、5つ目以降の頂角では正三角形は被っているので
60-8=52
よってその確率は
52/220=13/55 //

(3) 鋭角三角形のどの一辺も直径であってはならない。また、1つの弦を1辺とした時、残りの頂点はその弦の両端の反対側に位置する2点の間に取らなければならない。

i) 隣接する2点間の弦を1辺とすると第3の頂点をどこにとってもどちらかの頂点は直角か劣弧側にきてしまうので不適。
ii) 弦の間に1点空けると、第3の頂点はその反対側1点である。この様な弦は12本引けるので
12・1=12
iii) 弦の間に2点空けると、第3の頂点も2点選べる。この様な弦は12本引けるが全て2回ずつ数えられるので
12・2/2=12
iv) 弦の間に3点空けると、第3の頂点も3点選べる。その内1つは正三角形であり、他の2点を選ぶと iii と被る。よって該当するのは
12/3=4
v) 弦の間に4点空ける場合は、既に数え終わっているものばかりである。
vi) 弦の間に5点空けると直径となるので不適。
よって、
12+12+4=28
28/220=7/55 //

(4) 1つの頂点をP1に固定して考える。
i) 第2の頂点がP2の場合、第3の頂点はP3〜P7まで考えられる。P8〜P12は対称な合同図形となるので被る。よって5通り。
ii) 第2の頂点がP3の場合、第3の頂点をP4とすると i と被る。よって第3の頂点はP5〜P8までである。よって4通り。
iii) 第2の頂点がP4の場合、第3の頂点がP5, P6のケースは既に数え終わっている。よって第3の頂点はP7とP8の2通り。
iv) 第2の頂点がP5の場合、第3の頂点がP6〜P8のケースは既に数え終わっている。よって第3の頂点はP9の1通り。
v) 第2の頂点がP6以降のケースは既に数え終わっている。

5+4+2+1=12 //
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この回答へのお礼

⑶のこたえが2/11なのですが間違っていませんか?

お礼日時:2017/12/20 00:24

(3) iii) 勘違いしてました。


被りありませんね。
12・2=24

12+24+4=40
40/220=2/11 //

ですね。
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Q確率

円周を12等分した点を反時計回りの順にP₁、P₂、P₃……、P₁₂とする。このうち異なる3点を選び、それらを頂点とする三角形を作る。
(1)直角二等辺三角形の個数を求めよ。

(2)正三角形でない二等辺三角形になる確率を求めよ。

(3)直角三角形になる確率を求めよ。

(4)このようにして作られる三角形の形によって、次のように得点を定める。
 正三角形のとき……5点
 直角二等辺三角形のとき……3点
 正三角形でなく直角二等辺三角形でもない二等辺三角形のとき……2点
 直角二等辺三角形でない直角三角形のとき……1点
 上のいずれでもないとき……0点
このとき得点の期待値を求めよ

という問題です。続いている問題なので4問出させてもらいました。これ以外にも2問あってそれは解けましたがこの4題はわかりません。分かる方いらっしゃいましたらすみませんが解説よろしくおねがいいたします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

過去に同じ問題で質問がありました。
参考まで。

http://okwave.jp/qa/q6369640.html

参考URL:http://okwave.jp/qa/q6369640.html

Q円周上に等間隔に12個の点をとる。

円周上に等間隔に12個の点をとる。
この12個の点から、3点を選び三角形をつくるとき、
鈍角三角形は何通りできるか。

余事象でもとめようかと思い、鋭角三角形をもとめるのと鈍角三角形をもとめるのとでは
どちらが面倒かと考え、どちらも同じかと思い、直接鈍角三角形をもとめようと考えました。
直径の同じ側に3点があるとき、鈍角三角形になる。直径は12本考えられるので、
これでうまくできるかとおもいましたが、これだとダブりがでるのでどう解消するか。
などと考えました。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1点を固定して、それを通る直径の片側からあと2点を選ぶと、
5C2=10通り
あとは回転したものを考えて、
120通り

でいいのでは。

Q円周を等分するとはどういうことですか?

円周を等分するとはどういうことですか?

どういうことでしょうか?
円の中心から円周までの半径を引くことが等分するということでしょうか?
円周を三等分するのであれば、円の中心から円周まで半径を任意の場所3つ引くということですか?
このことを実際に図解してくだされば幸いです

Aベストアンサー

> 円周を等分するとはどういうことですか?
> 円の中心から円周までの半径を引くことが等分するということでしょうか?

必ずしも半径、円の中心を通る線分である必要はなく、円周上に適切な3点を取るだけでも等分は可能だと思います。
(添付の図はテキトーです。)

3等分の作図なら、円の中心を使う方が簡単だと思いますが…。

Q三角形と図形

△ABCにおいてAB=3、BC=4、CA=2である。
また、△ABCの内接円Oと、BC、CA、ABの接点をそれぞれP、Q、Rとする。

(問1)でcos∠BAC=-1/4  △ABCの面積=3√15/4  O半径=√15/6
  がわかりました。

(問2)AR=AQ=(  )であるから、RQ=(  )、sin∠RPQ=(  )である。

 この問題がわかりません。解答を見たのですが、
 まずなんでAR=AQなのかがわかりません。
 続いてRB=BP、QC=CP、RB+QC=BCが成り立つ理由もわかりません
 特にRB=BPとQC=CPが成り立つ理由がわかりません。

 私は基本的な定理が抜けていることが多く
 今回もそのような気がするのですが、どなたか教えてください。

Aベストアンサー

参考・概略です

図を参照してください

>まずなんでAR=AQなのかがわかりません。
●円外の一点から円に引いた接線の長さは等しくなります

△ARIと△AQIについて
・・・∠ARI=∠AQI=90°(R,Qは接点)
・・・AI=AI(共通)
・・・IR=IQ(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△ARI≡△AQI
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・AR=AQ

>続いてRB=BP、QC=CP、RB+QC=BCが成り立つ理由
上と同様にして

△BRIと△BPIについて
・・・∠BRI=∠BPI=90°(R,Pは接点)
・・・BI=BI(共通)
・・・IR=IP(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△BRI≡△BPI
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・RB=PB

△CQIと△CPIについて
・・・∠CQI=∠CPI=90°(Q,Pは接点)
・・・CI=CI(共通)
・・・IQ=IP(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△CQI≡△CPI
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・CQ=CP

以上から、
・・・RB=PB=BP,CQ=CP=PC

RB+QCについて考えると
・・RB+QC
=BP+PC
=BC

●円外の一点から円に引いた接線の長さは等しくなる。

参考・概略です

図を参照してください

>まずなんでAR=AQなのかがわかりません。
●円外の一点から円に引いた接線の長さは等しくなります

△ARIと△AQIについて
・・・∠ARI=∠AQI=90°(R,Qは接点)
・・・AI=AI(共通)
・・・IR=IQ(半径)
直角三角形の斜辺と他のいっぺんがそれぞれ等しいので
・・・△ARI≡△AQI
合同な図形の対応する辺は等しいので
・・・AR=AQ

>続いてRB=BP、QC=CP、RB+QC=BCが成り立つ理由
上と同様にして

△BRIと△BPIについて
・・・∠BRI=∠...続きを読む


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