数1の四面体の問題についてです 一辺の長さが5cmの正四面体ABCDにおいて、点PをAB上に、点Qを

数1の四面体の問題についてです

一辺の長さが5cmの正四面体ABCDにおいて、点PをAB上に、点Qを辺AC上に、点Rを辺AD上に、それぞれ、AP＝1 AQ＝2 AR＝3となるようにとる
このとき以下の問いに答えなさい


という問題中にあった、

四面体APQRの体積を求めよという問題の解き方がわかりません

数学が得意な方ぜひ教えてください、、

質問者からの補足コメント

• すみません、、
  
  
  その他の問題で
  
  辺PQ QR RPを出す問題
  
  ABCDの体積を出す問題
  
  などがありました
  
  最後にこの問題がありました
  
  底面はなんとか出せたのですが高さがどうしても出せなかったです
  
  入試問題の1番最後の問題です

    補足日時：2018/01/18 17:27

No.8 ベストアンサー 回答者： 細筆 回答日時： 2018/01/18 20:20

√2/2？

もちろん正解だよ。よく頑張ったな！

練習がてら、紹介した解法で別の三角形を底面にして解き直してみ？（※△PQRを底面にするのは悪手）

正解した褒美に受け取れ。
↓
「三角錐O- ABCにおいて、OA = a,OB=b,OC=cとする。
また、OA,OB,OC上にそれぞれ長さがp,q,rとなるような点P,Q,Rをとる。
この時、三角錐O- PQRと三角錐O- ABCの体積比は、
pqr：abc」
※この公式は三角錐限定。他の角錐では使えない！

この公式と、一辺aの正四面体の体積V=√2・a^3/12を組み合わせて本問を解くと、

(1・2・3)(√2・5^3)/(5・5・5)・12
=√2/2

以上

この回答へのお礼

すごいわかりやすかったです！！
ありがとうございました(^o^)

はい、やってみます！！

お礼日時：2018/01/18 21:52

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/18 19:43

これを入試問題にする出題者もどうかと思うよ。

三角錐の角度が60°だからこれを使って、cos定理より底面各辺の長さは出るから面積は出せる。

APQかAQRを底面にすると、底面内に頂点から垂線を立てられるから、解けると思う。

実際に紙を切って立体を作って見ると、解法が解る筈。

No.6 回答者： 細筆 回答日時： 2018/01/18 18:30

高さ、ですか…

以下、△APQを底面とした場合の話ですが、
イ．中学数学なら断面△AMDで三平方の定理でDH,△ADHと△ARIの相似比5:3でRIを求められます。

ロ．数1なら…
△AMDにおいて余弦定理を使ってcos∠MADを求め、
sin ^2 + cos ^2 = 1を使ってsin∠MADを求める（約分その他で打ち消しあうので計算は楽でした）。

△APQを底面としたときの高さRIは、 AR sin∠MADで求まります。
ついでに体積も出してみましたが、公式の結論に一致したので間違いないはずです。

この回答へのお礼

答えは√2/2であってますか、、？？

お礼日時：2018/01/18 20:04

No.5 回答者： 細筆 回答日時： 2018/01/18 17:38

正四面体の体積の公式と一頂点・三辺共有の三角錐の体積比の公式を組み合わせれば10秒で答えが出る問題だねぇ。

正解を書くのも無粋なので、仄めかすと（無理数）/（素数）になる。
ただ、数1の解答用紙にコレを書くと減点かも(´；ω；`)

とりあえず、
ア．△APQを底面として、その面積を求める。

イ．BCの中点をMとし、断面図△AMDを考える。

ウ．△ABCに対し、点D,点Rからそれぞれ垂線を下ろす（垂線の足をそれぞれH,Iとする。H,Iは線分DM上にある）。

エ．DHとRIの比からRIの長さを求める。なお、DHは正四面体の高さそのもの。

オ．△APQ・RI/3でおしまい！

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/18 16:43

この問題、かなり難しい。

他の回答者は問題文を良くよんで無いから、底面に平行に切った図形とか、1面が正三角形の6面体とか言ってる。

かなりひしゃげた立体だから、スンナリとは行かない。

チョット回答保留
（底面積は解るが、高さが難しい。側面を底面とすると、高さが求まる気もする）

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/01/18 16:08

あぁ, 四面体ABCD の体積がわかっているなら

「四面体APQRの体積は四面体ABCD の体積の〇倍だから～」
ってやることもできるね.

No.2 回答者： banzaiA 回答日時： 2018/01/18 15:46

あのね、問題文は性格に映してください。

＞一辺の長さが5cmの正四面体ABCDにおいて
普通では四面体を表すのに、「正四面体ABCD」などとはせずに「正四面体ABCD－EFGH」などとするのですが。

＞一辺の長さが5cmの正四面体ABCD
において、このABCDの各点は、同一平面ではありませんね？

この四面体は三角錐ですね。
△APQ を底面にして、高さをAR とすればできますよね。
体積V＝（底面積×高さ）/3

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/01/18 15:25

四面体の体積は

(1/3)×底面積×高さ
です.

四面体APQR の「底面積」と「高さ」をここに代入すれば四面体APQRの体積が求まります.