∮e^x•sinx dx の答えは 1/2e^x(sinx-cosx)+C となるのはわかるのですが

∮e^x•sinx dx

の答えは
1/2e^x(sinx-cosx)+C

となるのはわかるのですが、
定積分の時に例えば
インテグラルがゼロから一までの条件であったとすれば、先ほどの結果を用いて、
［先ほどの結果］ゼロから一まで
で答えが求まるのが理解出来ません

部分積分で写真のように個別にしていかなくてなぜいいのか理解出来ません
どなたか丁寧に説明をお願いします

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/01/29 18:06

部分積分を使うのは、１、不定積分を求める時に使っても、２、定積分を求める時に使ってもいいのです。

どちらも正しく計算すれば、結果は同じですが、不定積分を求める時に使う方が簡単です。
一番楽な方法は、(e^x)sinxの不定積分は(1/2)(e^x)(sinx－cosx)+Cと解っているので、この式を微分すると(e^x)sinxとなるので、不定積分が(1/2)(e^x)(sinx-cosx)+Cだと確認できます。不定積分が正しく求められたなら、どの方法で求めたかは問題ありません。
(0→1)は０から１までの積分の下限と上限を表す記号とします。すると０から１までの定積分は
∫(0→1)e^x･sinx dx=[(1/2)e^x･(sinx-cosx)] (0→1)
＝(1/2)e^1･(sin1-cos1)－(1/2)e^0･(sin0-cos0)
＝(1/2)e･(sin1-cos1)－(1/2)･(-cos0) ＝(1/2)e(sin1－cos1)+1/2
となります。sin１ラジアン=0.8415，cos1=0.5403，e =2.7183，
定積分=(1/2)e(sin1－cos1)+1/2=0.9093となります。
１、も2、も論理的に同じことをやっています。(記号∮は一周の積分、記号∫は単に積分の記号です。)もし違う結果が出たら、どこかで計算を間違えたのが原因です。

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/01/26 09:47

式は ∫e^x•sinx dx＝1/2e^x(sinx＋cosx)+C　の

間違いではありませんか。

いずれにしても、問題では被積分関数がe^(-ax)*sin(2x) とxが
指数の冪ではa倍、三角関数の変数では２倍になっているので
冒頭に示された式を単純に適用するわけには行きません。
それで、∫e^x•sinx dxの式を導いたと同じ手順で
A=・・とB=・・・の式を部分積分し、連立させてBを消去し、
A=最終結果と求めているのです。