三角形の角度をA,B,Cとすると、A+B+C=πです。
http://www.nikonet.or.jp/spring/menseki/menseki. …
などによると、面積Sは次のように2通りにかけます。
S=2R^2(sinAsinBsinC)=(R^2/2)(sin2A+sin2B+sin2C)
(ただし、Rは外接円の半径)
これより、
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
このことを拡張すると、mod 4で
http://image.blog.livedoor.jp/seven_triton/imgs/ …
となるそうですが、その8種類の等式をどのように示したらよいのでしょうか?
どうかご教示ください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
図形を使って証明するのはちょっと思いつかないけど、普通に計算していけばできそうな気がする
例) n ≡ 0 ( mod 4 ) の場合
sin nA + sin nB + sin nC
= 2{sin n(A+B)/2 * cos n(A-B)/2 } + 2{sin nC/2 * cos nC/2}
= 2{sin n(π-C)/2 * cos n(A-B)/2 } + 2{sin nC/2 * cos nC/2}
= 2{-sin nC/2 * cos n(A-B)/2} + 2{sin nC/2 * cos nC/2}
= 2 * sin nC/2 * {-cos n(A-B)/2 + cos nC/2 }
= -4 * sin nC/2 * {sin n(A-B+C)/4 * sin n(-A+B+C)/4 }
= -4 * sin nC/2 * sin n(π-2B)/4 * sin n(π-2A)/4
= -4 * sin nC/2 * (-1)^(n/4) * (-sin nB/2) * (-1)^(n/4) * (-sin nA/2)
= -4 * sin nA/2 * sin nB/2 * sin nC/2
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