線形計画法

実数x、yが３つの不等式
x≧－１、x＋３y≦２、２x－３y≦４を満たす時、２x＋yのとる値の最大値、最小値を求めよ。　
私の考え
まず図を書くためにy≦－１/3x＋2/3,y≦2/3x-4/3と直しますよね。そして直す前の式で連立方程式を解いて交点を求め交点は（２，０）です。それからｙ＝－２ｘ＋kとおいて一番大きくなるところと、小さくなるところを探します。このときあてはめるのは交点（２，０）とあと３点ははどうやったら見つけたらよいのですか。原点と最初の２式に当てはまる数字を見つければ求められるのですか

No.5 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2004/10/17 08:48

#4さんのおっしゃるとおり、

>元の理屈を知らないとだめです。

高校数学で線形計画法を学ぶ意図は、
・y=-2x+kはkの値が変わると直線が平行移動する
・領域内の点を（少なくとも１点以上）通るように平行移動させたときのkの範囲を求める
ことですからね。

ここからは「ちょっと踏み込んだレベル」の話になる（しかし高校１年生レベル）のでちょっと無視してもらってもよいですが・・・

3y-x^2の最大値を考えるときには、
詳しいことは省きますが、実は放物線3y-x^2=kが領域の境界の１つx+3y=2と接するときが最大になります。
接点を求める過程の中で、２次方程式x^2+x+(k-2)=0が重解を持つという条件にぶちあたります。これを解くと
D=1-4(k-2)=0→k=9/4→接点は(x,y)=(-1/2,5/6)
これは領域の頂点ではありません。

でも12y-x^2の最大値を考えるときには、
放物線12y-x^2=kが直線x+3y=2と接する接点を考えてみると、領域の外（具体的にはx<-1のところで）接するのでこの問題の解として考えることが不適切で、結局領域の頂点の１つ(-1,1)が解になります。

なお大学にいくと、「線形計画法（目的関数も制約条件も１次式）の最適解（の少なくとも１つ）は、実行可能領域の頂点にある」という定理を用いて、頂点のみに注目した最適解の探索方法が出てきます。
これは、大学でいう線形計画法が往々にして文字が多数（２次元や３次元にとどまらない）であり、いちいち図を描いて直線（や平面）を平行移動させてる場合じゃないことによります。

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/10/16 16:55

＞このときあてはめるのは交点（２，０）とあと３点ははどうやったら見つけたらよいのですか。

線形計画で最大、最小を調べるとき
交点の座標を代入して調べればよいという指導をします。
しかしそれは１次式のときです。
（線形計画なら１次式は当然ですが、応用として
２次式以上になると交点ではないときがあります。）

また完全に領域が閉じていないとこの方法では出来ません。
書いてある条件が間違っていなければ
この問題では閉じていませんね。
それでも最大値は（２，０）で求まりますが、
最小値だともう求まりません。

だから交点の座標を代入するというやり方は
簡便な方法として知っているのは良いですが、
元の理屈を知らないとだめです。

領域を図示して２ｘ＋ｙ＝ｋという直線が
この領域を通るときどこを通るときにｋが最大となるか、です。
この問題では直線２ｘ＋ｙ＝ｋが
出来るだけ上にあるときで、それは点（２，０）を
通るときということになります。

No.3 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/16 16:52

図が命の問題ですね．メモリを均等にとって図をとにかく丁寧に描いて下さい．

図にｙ＝－２ｘの直線を書き入れて、あとは定規をその直線に合わせてから、傾きを保ったまま定規を平行移動させて行って下さい．交点は自然と見つかるはずです．

No.2 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/10/16 12:42

まず、y≦2/3x-4/3って符号が逆ですよね。

あと３点の意味がよくわからないですが、

３つの不等式で囲まれた部分がでますよね。
あと、ｙ＝－２ｘ＋k
を平行移動して、突端に合わせて（直線が内部を通らないで接するようにして）やれば
その時が、最大や最小になります。
例えば、（２，０）の時最大です。
最小の場合も、直線をスライドしてやればわかります。

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2004/10/16 12:37

(x,y)のとりうる領域は三角形ではないですか？

その３頂点を考えればよいのでは？１つの辺を忘れてませんか？