この性質を証明してください

この性質を証明してください

No.6 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/29 11:48

参考書などでは以下のような内容で証明されている事があるのではないかと思います。

ｎこのものに、0１、0２，0３・・・ｎというように番号をつけます。
n個からｒこを選ぶ組合せは、①特定の１こ[01]を含む場合と、②特定の１こ[01]を含まない場合とに場合分けしてその合計から求めることもできます。
①の場合
あらかじめ、01を選び出しておいて　残りr-1こを選び出すと考えることができ
01を除いたn-1こから、01以外のr-1こを選ぶ方法がn-1Cr-1通りだから
ケース①の総数はn-1Cr-1通り

②の場合
n個から01を除いて、n-1個からｒこを選ぶ　と考えてその組み合わせは
n-1Cr通り

異なるnこの物の中から異なるrこを選び出す法方はnCrで
①②をあわせてn-1Cr-1+n-1Crとも表すことができるから
nCr=n-1Cr-1+n-1Cr
ただし、特定の01とそれ以外の物とにわけていることから、n≧２という条件が付きます。

証明はこの説明の要点を記述するようにしてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/05/07 18:25

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/29 11:23

Ｎｏ２です。

タイプミスがありましたので、訂正してお詫びします。

（誤）：nＣr=n!/r!(n-r)!=n!/r!{n-(n-r)}!=nＣ(n-r) 。
（正）：nＣr=n!/r!(n-r)!=(n-r)!/r!{n-(n-r)}!=nＣ(n-r) 。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/05/07 18:26

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/29 08:36

式４は数式で証明するのは中学生レベルの計算能力で出来ます。

さて、これを、言葉でも説明できます。それには組合わせの考え方を理解していないと出来ません。大学生レベルの思考能力が必要です。
くじらるんるんさん一度チャレンジしてはいかがですか？１日から２日かかるかもしれません。出来れば、所望の大学へ行けると思いますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/05/07 18:26

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2018/04/29 07:39

（１）書いてて分かりにくいので、組み合わせをC(n,r)、順列をP(n,r)と書くことにします。

組み合わせC(n,r)は、順列P(n,r)の個数のうち、
「選んだr個でできる重複するパターン（たとえば、2個選ぶときの(a,b)と(b,a)、など）」を1個とみなして数えます。
「選んだr個でできる重複するパターン」は、代表の1パターンに対して r! 個あるので、
C(n,r) = P(n,r) / r! … ① が成り立ちます。

また、順列 P(n,r) は、「n個あるものからr個を選ぶパターンの数」であり、
1個選ぶごとに選べるものがn個から1つずつ減って、r回目に選ぶときには(n-r+1)個になります。
P(n,r) = n・(n-1)・… (n-r+1)
= n・(n-1)・… (n-r+1) ･(n-r)・ … ・3・2・1 / (n-r)・ … ・3・2・1 （←分母と分子にそれぞれ (n-r)~1までかける）
= n! / (n-r)! … ② （← ここで「階乗」を使うとこうなる）

すると、①より C(n,r) = P(n,r) / r! =n! / ((n-r)!・r!） … ③になります。

ここで、k=n-rとすると、r=n-kとなるので、
①の右辺 = n! / (k!・(n-k)!）
= C(n,k) （← ③でrをkと読み替えたもの）
= C(n,n-r) （← k=n-r に戻す）


（２） ②を使うと、
右辺 = P(n-1,r-1) / (r-1)! + P(n-1,r) / r!
= {r・P(n-1,r-1) + P(n-1,r) } / r! （第1項の分母・分子にrをかけて通分）
= {r(n-1)! / (n-r)! + (n-1)! / (n-r-1)! } / r!
= (第2項の分母・分子に(n-r)をかけて通分すると、分子の r(n-1)! がうまく消える）
= n! / ((n-r)!・r!） = C(n,r) = 左辺

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/28 21:15

nＣr=n!/r!(n-r)!=n!/r!{n-(n-r)}!=nＣ(n-r) 。

₅Ｃ₃ （5個から3個を選ぶ）＝₅Ｃ₂ (5個から2個を選ばない）。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/04/28 19:42

nCr＝(n/r)×(n-1Cr-1)＝{(n-r+r)/r}×(n-1Cr-1)

＝{(n-r)/r}×(n-1Cr-1)＋(r/r)×(n-1Cr-1)
＝(n-1Cr-1)＋{(n-r)/r}×(n-1Cr-1)

ここで、{(n-r)/r}×(n-1Cr-1)を少し吟味する。

(n-1Cr-1)＝{(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)}/{(r-1)(r-2)・・・1}
分母はn-1から始まって1ずつ減っていった数をr-1こだけかけた数。
分子はr-1から始まって1ずつ減っていった数をr-1こだけかけた数。
だから、{(n-r)/r}×(n-1Cr-1)＝{(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)(n-r)}/{r(r-1)(r-2)・・・1}となり、
分母はn-1から始まって1ずつ減っていった数をrこだけかけた数。
分子はrから始まって1ずつ減っていった数をrこだけかけた数。
これは、{(n-r)/r}×(n-1Cr-1)＝(n-1Cr)となることを示している。

故に(nCr）＝(n-1Cr-1)＋(n-1Cr)が成り立つ。