力学の質問です 惑星は太陽を焦点の一つとした楕円軌道を動きますが、楕円の焦点二つに同じ太陽二つが入っ

力学の質問です
惑星は太陽を焦点の一つとした楕円軌道を動きますが、楕円の焦点二つに同じ太陽二つが入ったときも、惑星が同じ楕円軌道を動きうることはどうやって示せるでしょうか？
難しいとは思いますが、方針だけでもお願いします…

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/17 14:00

No.2です。

少し補足。

No.2に書いたものと別なケースとして、今まで焦点にいた「太陽」が２つに分かれたとすれば、２つに分かれた太陽の「重心」と「合成質量」は変わらないので、惑星の軌道には何も影響しません。

２つに分かれた太陽の質量配分や座標関係がどうであれ、重心位置は「分かれる前の太陽の中心位置」のままだし、分かれた太陽の質量の合計は分かれる前と同じなので、惑星から見れば「１つの太陽」でも「２つに分かれた太陽」でも、力学的相互関係は変わりません。

質問文にある「楕円の焦点二つに同じ太陽二つが入ったとき」が、「１つの太陽が存在した焦点の対称位置に、もう一つ同じ質量の太陽を追加して置いた」という非現実な仮定であれば、
・新しい重心位置は「２つの焦点の中間位置」
・新しい質量は２倍
になるということなので、当然「軌道」や「公転周期」が変わり、「惑星が同じ楕円軌道を動きうる」ということは確実にあり得ません。

No.8 回答者： lasato 回答日時： 2018/07/19 22:41

力学のレポートですね…

解けていた友達が言っていましたが、一定値である距離の和と角度Θの2つで位置を定める座標系で運動方程式をたてるとエネルギー保存みたいなのが出てきて解けるそうです。
私は結局解けませんでした

No.5 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/07/18 11:23

それは簡単な高校の数学で、連星の太陽を持つ「太陽系」ではしばしば起きます。

連星間距離が不変と仮定すれば全ての惑星軌道はすぐに解けてしまいます。

No.4 回答者： isa-098 回答日時： 2018/07/17 20:49

もう回答はありますが、示せません。

三点問題の解はカオス（混沌として分からない）が正解です。

惑星の持つ運動エネルギー（E=１/２ｍV^2）は焦点Aと紐でつながっていれば慣性の法則で保存されますが、
これが焦点Aと焦点Bの両方でつながると大きく変動しいずれ消滅してしまうでしょう。

惑星の持つ運動エネルギーは絶えず変動し
二度、同じ楕円軌道を取る事は難しいと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/17 13:14

＞楕円の焦点二つに同じ太陽二つが入ったとき

この2つの太陽が「万有引力」で引きあって合体しないためには、相互の「重心」を中心とした回転運動をすることが必要です。

惑星は、その重心位置を「焦点」とした楕円運動をするわけで、「2つの太陽」の重心位置とその「合成質量」が分かれば、それを「新たな太陽」として惑星の軌道を計算すればよいのです。太陽が１つのときと「同じ楕円軌道」にはならないと思いますが。
もちろん、太陽が１つのときも２つのときも、太陽の質量が惑星の質量に対して「非常に大きい」という条件です。

No.1 回答者： head1192 回答日時： 2018/07/17 12:25

無理だと思います。

太陽２つと惑星１つ、つまり「三体問題」です。
これはラグランジュ点など特殊な場合を除いては解けないことが明らかになっており、
スパコンでも近似によるシミュレーションができる程度です。

楕円軌道はあくまで中心星が一つの場合における、
中心星と惑星との距離の関係として解けるものです。

簡単に「地球」と「動いている物」とした場合、
動いているものが地球に近づくと位置エネルギーは運動エネルギーに転換されて速度が速くなり、
逆に遠ざかると運動エネルギーは位置エネルギーとなって運動速度は小さくなる、

そういう二体問題に限った話なのです。