至急です！！大学数学 線形代数の問題

至急です。誰か解いてください。線形代数の問題です
解法がわかるように､紙などに画像ファイルなどで書いて送ってください｡
わかりやすく､早かった方にベストアンサー差し上げます

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/01 23:24

7、k個のベクトルa1･･･akが線形独立で、k+1個のベクトルa1･･･ak，ak+1が線形従属ならば、ak+1はa1･･･akの線形結合であることを示せ。

　解：k個のベクトル　a1･･･akが線形独立とは、
　a1･･･akの次の線形結合が0ベクトルのとき
　c1a1+･･･+ckak=0＿＿①
　係数c1･･･ckはすべて0である。
　k+1個のベクトル　a1･･･ak，ak+1が線形従属とは、
　a1･･･ak，ak+1の次の線形結合が0ベクトルのとき
　c1a1+･･･+ckak+ck+1ak+1=0＿＿②
　係数c1･･･ck，ck+1の中に0でないものがある。
　このとき
　ck+1≠0＿＿③
　なぜなら、もしck+1=0なら②の最後の項は消えるから、②は①になる。
　するとa1･･･akが線形独立であるから、係数c1･･･ckはすべて0である。
　ck+1も仮定により0とするから、係数c1･･･ck，ck+1の中に　　
　0でないものがあるという、線形従属の前提に反する。
　②からak+1を解くと、ck+1≠0だから、ck+1で割り算ができて
　ak+1＝－(c1a1+･･･+ckak)/ck+1＿＿④

No.7 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/03 11:29

9,ベクトルa1，a2は線形独立とする。

行列ｘを
　X=〔x 11　x12
　　　 x21　x22 〕
として
b1= x 11 a1+ x21 a2，b2= x 12 a1+ x22 a2
とおく。つぎの(1)，(2)は同値であることを示せ。
(1) Xは正則行列
(2) b1，b2は線形独立
解：(1) の条件はdetX=0。(2) の条件もdetX=0


10, 線形写像f : V1→V2，g : V2→V3について次を示せ。
(1) 合成写像gfも線形写像　(2) rank(gf)≦rank(f)
解：
(1)線形写像の定義により、f とgは①②③④が成り立つ。
加法性: f(x + y) = f(x) + f(y)＿＿①
斉一次性: f(cx) = cf (x)＿＿②
加法性: g(x + y) = g(x) +g(y)＿＿③
斉一次性: f(cx) = cf (x)＿＿④
すると①②③④から
加法性: gf(x + y)=g(f(x + y))=g(f(x)+f(y))=gf(x)+gf(y)＿＿⑤
斉一次性:gf(cx)=g(f(cx))=g(cf(cx))=cg(f(x))=cgf(x)＿＿⑥
ゆえにgfは線形写像である。
(2)f とgを表す行列がnの場合、rank(g)の最大値はnとなり、そのときをフルランクという。そのときrank(gf)=rank(f)となる。rank(g)<nのときは、rank(gf)=rank(f)とは限らないので、 rank(gf)≦rank(f)である。これは正しい証明ではなく、単なる説明である。階数・退化次数の定理というのがあるが、証明は長くなるので、書きたくない。
https://ja.wikipedia.org/wiki/階数・退化次数の定理

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/03 10:25

12、正方行列Aに対して、A≠EかつA^２=Aとなるとき、

Aは正則行列ではないことを示せ。
解：与えられた条件式を①とする。
A^２=A＿＿①
Aのある一つの固有値をλiとして、固有ベクトルをxiとすると
A xi＝λixi＿＿②
この両辺にAを掛けると
A^２xi＝λiA xi＝λiA xi＝λi^２xi＿＿③
③の左辺に①を入れると
A^２xi＝A xi＝λiA xi＿＿④
③④から
λi^２＝λi＿＿⑤
これよりλi＝0または1
もし固有値の中に0があれば、det(A－λi I )=detA=0となるから、Aは正則行列ではない。
すべての固有値が1のとき、Aは相似変換により対角行列にすることができるか、またはジョルダン標準系にすることができる。もし対角行列にできるときは、A=E単位行列になるので、問題の仮定に反する。また、すべての固有値が1のときのジョルダン標準系は①を満たさない。なぜならジョルダン標準系のi行j列が非対角要素で1の場合、A^２のi行j列を計算するとλi+λj=1+1=2となるので1≠2。
もっと易しい証明方法が望ましいが、今は分かりませんでした。

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/03 08:50

8、次の行列Aに対して、Ax＝０の解空間の次元と基底を求めよ。

A＝〔 2　4　－2　 3　1
　　　 2　2　－2　 1－1
　　　 3　2　－1　 2　1
　　 －2　1　－2 －1－3〕
次のように計算する。これをガウスの消去法という。連立方程式の解法である。
最初に①～④の行は、行列Aを書く。以下⑤行～⑯は、各行の右端に書いた式の通りに計算する。①行は先頭が１になるように、２で割ったものを⑤とする。次に、⑤行を使って、②③④行の先頭を消去したものを⑥⑦⑧とする。
次に、⑥行の2列目が1になるように、－２で割ったものを⑨行とする。
⑨行を使って、⑤⑦⑧行の2列目を消去したものを⑩⑪⑫とする。
次に、⑪行の3列目が1になるように、２で割ったものを⑬行とする。
⑬行を使って、⑩⑨⑫行の3列目を消去したものを⑭⑮⑯とする。
①　 2　 4　－2　　3　　 1
②　 2　 2　－2　　1　 －1
③　 3　 2　－1　　2　　 1
④ －2　 1　－2　－1　 －3
⑤　 1　 2　－1　　1.5　 0.5　⑤=①/２　
⑥　 0 －2　　0　－2　 －2　　⑥=②－2⑤
⑦　 0 －4　　2　－2.5 －0.5　⑦=③－3⑤
⑧　 0　 5　－4　　2　 －2　　⑧=④+2⑤
⑨　 0 　1　　0　　1　　 1　　⑨=⑥/(－2)
⑩　 1　 0　－1　－0.5 －1.5　⑩=⑤－2⑨　
⑪　 0　 0　　2　　1.5　 3.5　 ⑪=⑦+4⑨
⑫　 0　 0　－4　－3　 －7　　⑫=⑧－5⑨
⑬　 0　 0　　1　　0.75　1.75 ⑬=⑪/2
⑭　 1　 0　　0　　0.25　0.25 ⑭=⑩+⑮
⑮　 0　 1　　0　　1　　 1　　⑮=⑨
⑯　 0　 0　　0　　0　　 0　　⑯=⑫+4⑪
すると⑭⑮⑬行の最初の３列は３次の単位行列になり、⑯行が０ベクトルになる。
⑭　 1　 0　　0　　0.25　0.25
⑮　 0　 1　　0　　1　　 1
⑬　 0　 0　　1　　0.75　1.75
⑯　 0　 0　　0　　0　　 0
０ベクトルを除いた３行の最初の３列が３次の単位行列になったので、
基底は⑭⑮⑬の３行である。これをAx＝０の形に書くと
x1+0.25x4+0.25x5=0＿＿⑭
x2+x4+x5=0＿＿⑮
x3+0.75x4+1.75x5=0＿＿⑬
となる。x1,x2,x3について解くと
x1=－0.25x4－0.25x5＿＿⑰
x2=－x4－x5＿＿⑱
x3=－0.75x4－1.75x5＿＿⑲
x4､x5は任意定数とすると、⑰⑱⑲から解空間が定まる。任意定数が二つあるから
解空間の次元は2次元である。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/01 22:27

No.１とNo.2の投稿者は読めないというので、読めるように書いてみた。

６問も書き並べて、宿題全部、丸投げですか。次の投稿に７と８の解を書く。

7、k個のベクトルa1･･･akが線形独立で、k+1個のベクトル
　a1･･･ak，ak+1が線形従属ならば、ak+1はa1･･･akの
　線形結合であることを示せ。

8、次の行列Aに対して、Ax＝０の解空間の次元と基底を求めよ。
A＝〔 2　4　－2　 3　1
　　　 2　2　－2　 1－1
　　　 3　2　－1　 2　1
　　 －2　1　－2 －1－3 〕

9,ベクトルa1，a2は線形独立とする。行列ｘを
　X=〔x 11　x12
　　　 x21　x22 〕
として
b1= x 11 a1+ x21 a2，b2= x 12 a1+ x22 a2
とおく。つぎの(1)，(2)は同値であることを示せ。
(1) Xは正則行列
(2) b1，b2は線形独立

10, 線形写像f : V1→V2，g : V2→V3について次を示せ。
(1) 合成写像gfも線形写像　(2) rank(gf)≦rank(f)

11, 正方行列A，Bに対して、AB=O(ただしOは零行列)となるとき
Aは正則行列ではないことを示せ。
解：反例、B= Oのとき、Aが正則でもAB=Oとなるから、証明できない。
「A、Bの少なくとも一方は正則行列ではないことを示せ。」なら証明できる

12、正方行列Aに対して、A≠EかつA２=Aとなるとき、
Aは正則行列ではないことを示せ。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/07/31 23:27

読めない。

No.1 回答者： raraririruru 回答日時： 2018/07/31 14:45

絶対回答来ないよ