高校数学の教科書ではベクトルを最初に矢印を使って定義してから成分表示を導入していますが、逆に成分表示

高校数学の教科書ではベクトルを最初に矢印を使って定義してから成分表示を導入していますが、逆に成分表示の方を定義してから矢印のベクトルを導入する事は出来ないでしょうか？
文字は全て実数とします。

「相等」a1＝b1,a2=b2,a3=b3の時
(a1,a2,a3)＝(b1,b2,b3).
「和」
(a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3).
「実数倍」k(a1,a2,a3)= (ka1,ka2,ka3).
「→」座標空間上の点Aから点Bに向かう→をAB→ .
「数と→の結びつけ」
点A(a1,a2,a3),点B(b1,b2,b3)とするとき
AB→=(-a1+b1,-a2+b2,-a3+b3).と定義します。

幾何学的な性質
「相等」AB→＝CD→の時、平行四辺形ACDBが出来る。
「和」AB→+BC→＝AC→
「実数倍」a→//ka→で符号付の大きさはka→はa→のk倍。

これらの性質は証明しなければならない命題になると思いますがどのように示せば良いでしょうか？

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/08/25 08:23

＞逆に成分表示の方を定義してから矢印のベクトルを導入する事は出来ないでしょうか？

できますよ。
安心して、あとはご自分で納得がいくように議論を進めてください。

この回答へのお礼

幾何学的な性質
「相等」AB→＝CD→の時、平行四辺形ACDBが出来る。
「和」AB→+BC→＝AC→
「実数倍」a→//ka→で符号付の大きさはka→はa→のk倍。

これらを証明する方法を教えて下さい

お礼日時：2018/08/25 10:23

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2018/08/25 23:19

難しいのは矢印が存在する空間をどのようにして定義するか？

だと思います。

簡単なのは3次元ユークリッド空間を考えて
2つの点の順序対を矢印と定義する。
平行移動を定義する。
矢印を平行移動で同値類に分類する。
ベクトルを同値類を使って定義する
和、実数倍を定義する。
順序対の同値類に対してベクトルの大きさとなる値を与える。

とにかく、空間をはっきりさせないとその中の矢印を定義できない。

現実の空間とは別物にしないといろいろ困ります。
例えば、直線とは何か？
まっすぐ　をどう定義するのか？
などなど。