数列、上に有界

ある証明で、an≧０で、有限和Σan≦Ａ（ある値）
であるから、Σ（ｎ＝１～ｎ＝Ｎ）anは上に有界とあったのですが、
何故上に有界となるかがピンときません。

有限和に関して上から抑えられていても無限ならそうとは限らないとか考えてしまいます。
どうして上の考え方はまずいのですか？

No.2 回答者： マークシート 回答日時： 2018/09/04 22:33

たぶん、有限和のときしか論じていないのではと思います。

n=1からn=Nまでの和をとって上に有界と言っているわけですよね？これは有限和ですよね。無限和のときはもちろんあなたの考えるように上に有界とは限りません。

文章について説明すると、
「有限和 Σan≦A」というのは、単純に「有限和は上に有界」ということを言いたいのだと思います。そりゃ有限個の和をとっているのだからそうですよね。
それを踏まえて「Σ(n=1~n=N)an は上に有界」というのは、「(数列の有限和は一般的に有界なのだから)特にn=1からn=N に範囲を制限したものは有界である」ということが言いたいのだと思います。

No.1 回答者： かず2718 回答日時： 2018/09/04 05:30

部分和（有限和）をSNと書くと、

SNは上は有界（A以下）
さらにan≧0だから
SNは単調増加。
単調増加で上に有界な数列は収束する（定理を使って）ので、
SNは収束します。また
その値をS∞とすると
SN≦Aより
S∞≦A
もいえます。
というふうに考えるのは、
だめでしょうか？