どうしても証明できなくて困ってます 原点にある微小な円電流が十分遠方の点Pに作る磁束密度の求め方が知

どうしても証明できなくて困ってます

原点にある微小な円電流が十分遠方の点Pに作る磁束密度の求め方が知りたいです!

教科書では証明が省略され、答えのみが載っています。

B(r)=μ0m/4πr³(2cosθer+sinθeθ)

はじめのrはPの位置ベクトル
それ以外はOPの長さ
μ0は磁気定数
mは磁気モーメント
er、eθはそれぞれr方向、θ方向の単位ベクトル
θはOPのz軸に対する偏角
です!

質問者からの補足コメント

• Pがz軸にないときの話です

    補足日時：2018/09/26 18:02

• なんとか証明はできましたがもっと簡単にできそうな気がします…

    補足日時：2018/09/26 18:44

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2018/09/30 10:04

No.1は教科書に載っていた方法ですが、すなおにxyz座標系で計算すると、さらに簡単なように

思えます。ベクトルの基底は ex,ey,ez です。記号は前の通りとします。同様に、φ回転対称から
簡単のため、y=0 のxz平面で考えます。

<H>=(Hx,Hy,Hz) , d<s>=adΦ(-sinΦ,cosΦ,0) , <r>=(x,0,z) , <a>=a(cosΦ,sinΦ,0)
<ρ>=<r>-<a>=(x-acosΦ,-asinΦ,z)
ρ={(x-acosΦ)²+(-asinΦ)²+z²}¹/²={x²+z²+a²-2axcosΦ}¹/²
≒{x²+z²-2axcosΦ}¹/²={r²-2axcosΦ}¹/²=r{1-(2ax/r²)cosΦ}¹/²　(a≪r=√(x²+z²) , だから)

1/ρ³≒(1/r³)(1-(-3/2)2axcosΦ)≒(1/r³)(1+(3ax/r²)cosΦ) , d<s>×<ρ>=adΦ(zcosΦ,zsinΦ,a-xcosΦ)

<H>=(I/4π)∲d<s>×<ρ>/ρ³=(Ia/4π)∫[-π,π]dΦ(zcosΦ,zsinΦ,a-xcosΦ)//ρ³
この積分のち、Hyの被積分関数はsinΦにより奇関数なので、積分Hyは0になる。ρの近似から
<H>≒(Ia/4πr³)∫[-π,π]dΦ(zcosΦ,0,a-xcosΦ){1+(3ax/r²)cosΦ}

Hx≒(Ia/4πr³)∫[-π,π]dΦ zcosΦ{1+(3ax/r²)cosΦ}=(Ia/4πr³)∫[-π,π]dΦ{zcosΦ+(3axz/r²)cos²Φ}
=(Ia/4πr³){0+(3axz/r²)(2π/2)}=3Ia²xz/4r⁵=(3Ia²/4r³)sinθcosθ　(sinθ=x/r , cosθ=z/r)

Hz≒(Ia/4πr³)∫[-π,π]dΦ (a-xcosΦ){1+(3ax/r²)cosΦ}=(Ia/4πr³)∫[-π,π]dΦ {a-(3ax²/r²)cos²Φ}
=(Ia/4πr³){a-(3ax²/2r²)}2π=(Ia/2r³){a-(3ax²/2r²)}=(Ia²/2r³){1-(3x²/2r²)}
=(Ia²/2r³){1-(3/2)sin²θ}

Hy=0

ベクトル基底を球座標にすると
Hr=Hxsinθ+Hzcosθ=(3Ia²/4r³)sin²θcosθ+(Ia²/2r³){1-(3/2)sin²θ}cosθ
=(Ia²/2r³)cosθ{(3/2)sin²θ+1-(3/2)sin²θ}=(Ia²/2r³)cosθ

Hθ=Hxcosθ-Hzsinθ=(3Ia²/4r³)sinθcos²θ-(Ia²/2r³){1-(3/2)sin²θ}sinθ
=(Ia²/4r³)sinθ[3cos²θ-2{1-(3/2)sin²θ}]=(Ia²/4r³)[3(1-sin²θ)-2+3sin³θ]=(Ia²/4r³)sinθ

Hφ=Hy=0

いずれにしても、ゴリゴリです。

この回答へのお礼

ありがとうございます!
やはりそうですよね……

お礼日時：2018/09/30 14:15

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2018/09/28 22:11

1. はじめに

　補足が何を言いたいか不明ですが、素直に　H=(I/4π)∲d<s>×<ρ>/ρ³　で計算すると
　ベクトル計算が大変でした。そこで書籍に載っているベクトルポテンシャルで計算すると
　ベクトル計算が無い分、多少、簡単になります。

2. 準備
　べクトルを <r>、その大きさを rなどと記述する。単位ベクトルはそのままer,ex などとと記す。
　まず、φについて回転対称だから、Hφは φ=0として、x軸上に取ってもH=(Hr,Hφ,Hθ)は変わら
　ない（つまり、P点をxz平面上に取る）。円電流上の一点をAとし、Pからx軸に(垂直に)下した時の
　点をQとし、∠AOQ=Φとする。円電流Iと円の半径をaとする。

　OからAへのベクトルは<a>=a(cosΦex+sinΦey)、ベクトルOPは仮定により、xz平面にあるから
　<r>=rer=r(sinθex+cosθez)、ベクトルAPは　<ρ>=<r>-<a>　すると、
　<a>・<r>=arcosΦ sinθex・ex+0=arcosΦ sinθ
　だから
　ρ²=(<r>-<a>)・(<r>-<a>)=r²+a²-2<a>・<r>=r²+a²-2arsinθcosΦ
　1/ρ=(1/r)/{1+a²/r²-(2a/r)sinθcosΦ}¹/²≒(1/r)(1+(a/r)sinθcosΦ)
　ここで、a≪r だから、２次の微小を略し、√(1+x)≒1+x/2 を使った。

3. 　計算
　円電流の円の微小線素は d<s>=adΦeΦ（eΦはΦの位置の円の接線単位ベクトル）
　まず、P点はxz平面にあるから、ey=eφ なので eΦ=-sinΦex+cosΦey=-sinΦex+cosΦeφ
　
　<A>=(μI/4π)∲d<s>/ρ=(Ia/4π)∲dΦeΦ/ρ=(μIa/4π)∲dΦ(-sinΦex+cosΦeφ)/ρ
　この積分内はρの近似式を使って
　(-sinΦex+cosΦeφ)/ρ=(-1/r){sinΦ+(a/r)sinθsinΦcosΦ}ex
　　　　　+(1/r){cosΦ+(a/r²)sinθcos²Φ}eφ

　この積分はΦ以外は定数だから、∲sinΦdΦ=∫[0,2π]sinΦdΦ=0 のように、
　∲cosΦdΦ=∲sinΦcosΦdΦ=0 になる。残りは　∲cos²ΦdΦ=π だから

　<A>=(μIa/4π)π(a/r²)sinθ=(μIa²/4r²)sinθeφ　つまり、
　Aφ=(μIa²/4r²)sinθ、Ar=Aθ=0

　極座標系の rot 公式から
　Br=(1/rsinθ){∂(sinθAφ)/∂θ-∂Aθ/∂φ}=(μIa²/2r³)cosθ
　Bφ=(1/r){∂(rAθ)/∂r-∂Ar/∂θ}=0
　Bθ=(1/rsinθ)∂(Ar)/∂φ-(1/r)∂(rAφ)/∂r=(μIa²/4r³)sinθ

　m=Iπa² だから、求める式が得られる。

この回答へのお礼

ありがとうございます!
私も同じようなやり方でやりました!
やっぱりゴリゴリ計算するしかないですかね…

お礼日時：2018/09/29 20:19