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流体力学について質問です。

問.
断面積A、速度uの噴流の方向を、固定された曲面板によって角度θだけ曲げれば、板には
F=2ρAu^2 sin(θ/2)
の力が働くことを示せ。ρは流体の密度である。

解答.
単位時間あたりの運動量保存則を用いる。流体が板に及ぼす力をFとする。解図4.1を参照のこと。
Fx=ρAu^2 (1-cosθ)
Fy=-ρAu^2 sinθ
F=√(Fx^2+Fy^2)


おそらく使用すると思われる式

mを質量流量[kg/s]、Qを体積流量[m^3/s]とし、
Q=uA
m=ρQ=ρAu
と表します。

【質量流量保存則】
m=ρAu=(一定)

【ベルヌーイの式】
1/2ρu^2 + p =(一定)
(今回は高低差がないため ρgz の項は無視しました)

【単位時間あたりの運動量保存の法則】
Fx=m(u1 cosθ1 - u2 cosθ2)
+p1A1cosθ1 - p2A2cosθ2
Fy=m(u1 sinθ1 - u2 sinθ2)
+p1A1sinθ1 - p2A2sinθ2

色々自分で試してみたのですが、上手く合いません。
ただ、p1=p2=0、u1=u2=u とすれば解答と合うのですが、質量流量保存則より、
ρA1u1 = ρA2u2
u2=(A1/A2)u1
であるため、A1=A2でなければu1=u2 はあり得ません。それとも、A1=A2なのでしょうか?

どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

「流体力学について質問です。 問. 断面積」の質問画像

A 回答 (2件)

この問題は、完全流体(ここでは、粘性ゼロの意味です。

)を前提としているようです。
曲面板の各所で働く力は、常に流線直角方向です。(そのために曲面で曲げている。折れ面で曲げると話が面倒になる。)
よって、流速を変える向きの力が働いていないため流速は変化せずに流向だけが変わります。流速が変化しないため、自動的にAも一定です。
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この回答へのお礼

お二方のうちどちらをベストアンサーに選ぶか迷ったのですが、A=(一定)がわかりやすかったのでmasa2211さんに決めさせていただきました。
kuroki55さんも材料力学で何度も答えていただき大変助かっています。
2人とも本当にありがとうございました!

お礼日時:2018/01/05 11:00

運動量の変化だけ考えて


F=√(Fx^2+Fy^2)
=ρAu^2√{(1-cosθ)^2+sin^2θ}
=ρAu^2√(1-2cosθ+cos^2θ+sin^2θ)
=ρAu^2√(2-2cosθ)
=ρAu^2√{4×(1-cosθ))/2}
=ρAu^2√{4sin^2(θ/2)}
=2ρAu^2 sin(θ/2)
で良いのでは。

ベルヌーイの定理から解くとした場合、
ノズルから出た瞬間大気圧になるので
p1=p2=0
は自明。
板に及ぼす力だけを考えるのだから
A1=A2
と考えて差し支え無いと思います。
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この回答へのお礼

お二方のうちどちらをベストアンサーに選ぶか迷ったのですが、A=(一定)がわかりやすかったのでmasa2211さんに決めさせていただきました。
kuroki55さんも材料力学で何度も答えていただき大変助かっています。
2人とも本当にありがとうございました!

お礼日時:2018/01/05 11:01

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