シグモイド関数を8階微分までするとパターンがあったがn階微分の時でも成り立つのか

シグモイド関数の8階微分までする中で、パターンになっていると思いましたが、８階微分までしか行っていないため、ｎ階微分の時に、パターンが続いているのかを証明できれば、パターンがあったことが証明できるため,どうすれば証明することができるのか知りたいです.本当は,画像が４枚あるためtwitterのほうで画像を見てもらえるとありがたいです


twitterで「＃数学質問」で質問しましたが、返答がなかったため、こちらで質問しています.
https://twitter.com/tate_go/status/1060873350677 …

質問者からの補足コメント

• 画像で切れている部分です

  
    補足日時：2018/12/08 20:16

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/09 15:19

ANo.1/2です。

>(a^4)x(1-x){(1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)}の所ですが、
>(1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)
>=(1-2x)(1 - 6x + 6x^2)---[1]
>-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)
>=-6x(1-x)(1-2x)
>=(1-2x)(-6x+6x^2)---[2]
>となり[1][2]より
>(a^4)x(1-x){(1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)}
>=(a^4)x(1-x)(1-2x){1-6x+6x^2-6x+6x^2}
>=(a^4)x(1-x)(1-2x){1-12x+12x^2}
>=(a^4)x(1-x)(1-2x)(1-12x(1-x))
>となると思っていたのですが,間違っていますか

合っています。
すみません、自分の計算ミスでした。

感覚的な話で恐縮ですが、奇数次導関数と偶数次導関数で規則性があるようにも見えますので、ラプラス変換を行えば、もしかしたら簡便な式で表現でき、n次導関数の形が見えてくるかもしれません。

この回答へのお礼

ラプラス変換は全く考えていませんでした.一度試してみます.

お礼日時：2018/12/09 17:03

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/08 23:09

ANo.1です。

すみません、4次導関数で計算ミスがありました。
論文と差異があることは変わりません。

x''''=(a^3)x'(1-x)(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(1-x)'(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(1-x)(1 - 6x + 6x^2)'
=(a^4)x(1-x)(1-x)(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(-ax(1-x))(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(1-x)(-6ax(1-x)+12a(1-x)x^2)
=(a^4)x(1-x)((1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)
=(a^4)x(1-x)(1 - 6x + 6x^2 - x + 6x^2 - 6x^3 - x + 6x^2 - 6x^3 - 6x + 6x^2 - 12x^2 + 12x^3)
=(a^4)x(1-x)(1 - 14x + 12x^2)

この回答へのお礼

(a^4)x(1-x){(1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)}の所ですが、
(1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)
=(1-2x)(1 - 6x + 6x^2)---[1]
-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)
=-6x(1-x)(1-2x)
=(1-2x)(-6x+6x^2)---[2]
となり[1][2]より
(a^4)x(1-x){(1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)}
=(a^4)x(1-x)(1-2x){1-6x+6x^2-6x+6x^2}
=(a^4)x(1-x)(1-2x){1-12x+12x^2}
=(a^4)x(1-x)(1-2x)(1-12x(1-x))
となると思っていたのですが,間違っていますか

お礼日時：2018/12/09 12:13

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/08 22:58

論文を見ました。

途中p,qに置換しているため、正直なところ分かりづらいです。

p,qに置換せず、こちらで4次導関数まで算出してみましたところ、4次導関数で差異がでました。
自分の計算が間違っている可能性も多分にありますので、そこを深く書くつもりはありませんが、論文が正しいとしても、単純な数学的帰納法では導けないように思えます。

参考まで。

x'=ax(1-x)

x''=ax'(1-x)+ax(1-x)'
=(a^2)x(1-x)(1-x)+ax(-ax(1-x))
=(a^2)x((1-x)^2 - x(1-x))
=(a^2)x(1-x)((1-x)-x))
=(a^2)x(1-x)(1-2x)

x'''=(a^2)x'(1-x)(1-2x)+(a^2)x(1-x)'(1-2x)+(a^2)x(1-x)(1-2x)'
=(a^3)x(1-x)(1-x)(1-2x)+(a^2)x(-ax(1-x))(1-2x)+(a^2)x(1-x)(-2ax(1-x))
=(a^3)x((1-2x)(1-x)^2 - x(1-x)(1-2x) - 2x(1-x)^2)
=(a^3)x(1-x)((1-x)(1-2x) - x(1-2x) - 2x(1-x))
=(a^3)x(1-x)(1 - 3x + 2x^2 - x + 2x^2 - 2x + 2x^2)
=(a^3)x(1-x)(1 - 6x + 6x^2)
=(a^3)x(1-x)(1-6x(1-x))

x''''=(a^3)x'(1-x)(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(1-x)'(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(1-x)(1 - 6x + 6x^2)'
=(a^4)x(1-x)(1-x)(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(-ax(1-x))(1 - 6x + 6x^2)+(a^3)x(1-x)(-6ax(1-x)+12a(1-x)x^2)
=(a^4)x(1-x)((1-x)(1 - 6x + 6x^2)-x(1 - 6x + 6x^2)-(6x(1-x)-12(1-x)x^2)
=(a^4)x(1-x)(1 - 6x + 6x^2 - x + 6x^2 - 6x^3 - x + 6x^2 - 6x^3 - 6x + 6x^2 - 12x^2 + 12x^3)
=(a^4)x(1-x)(1 - 14x + 24x^2)