分散・標準偏差の値が意味するもの

統計学初心者です。
分散・標準偏差の計算方法はわかりました。
標準化、正規分布の話への流れもなんとなくわかりました。

しかし、分散・標準偏差の計算結果が何を意味しているのか（「バラつきだと」とかではなく）、
分散・標準偏差の結果をどう評価すればいいのか、よくわかりません。

たとえば、分散や標準偏差がどれくらいだったら、良い試験問題だった、などの
評価基準はあるんでしょうか？
あるいは、入学試験はどのような分布が望ましくて、定期試験はどのような分布が
望ましい、とか。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/11 23:24

No.1です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞例えば入学試験の場合、合否の線を引くことが目的でしょうから、
＞ある程度、結果がバラつくような出題をする必要があるのではないかと思います。
＞ただバラつけばいいってもんでもないでしょうし、他科目とのバランスもあるでしょうし。
＞一方、学習の理解度を図る試験であれば、理解度のバラつき通りに
＞試験結果がバラつくような問題が望ましいのではないか、
＞そのためにはどのような問題を出せばいいのか、と作成者は考えるのではないかなぁ、
＞と思う次第です。

そういう目的のために「偏差値」というものがあります。
「偏差値」とは「平均値を 50、標準偏差を 10 に規格化した正規分布」にしたものです。

↓　「偏差値」の説明はここが分かりやすいかな。
http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensac …


いずれにせよ、得られた結果の特性に与える影響としては
・問題の出し方、内容、出題のしかた
・解答者（受験者）の特性
の２つの要素があるわけですから、どちらか一方だけで結果を制御することはできないでしょう。

また、「問題の出し方、内容、出題のしかた」においては、「基本重視」か「応用能力重視」かなどによって、問題ごとの配点、部分点の与え方などをあらかじめ想定することは行われると思います。ただし、結果が「想定通り」になるかどうかはやってみないと分からないと思います。従って、試験後の「評価」の段階で、そういった「想定の修正」が行われることもあり得ると思います。
ただし、それは一概に言えることではなく、あくまで「試験結果を評価する者」の「狙い、意図」に依存するものだと思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/10 22:51

＞分散・標準偏差の計算結果が何を意味しているのか（「バラつきだと」とかではなく）

そう言われると、説明のしようがなくなりますね。
「平均値との偏差の二乗平均」といってもしょうがないし・・・。

いっそのこと、「正規分布」における「平均」と「標準偏差」と「存在確率」みたいなものを見てもらった方がよいのかな？

　ご承知とは思いますが、「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称の分布です。
　このとき、標準偏差を「σ」として、
　　平均値± σ　の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
　　平均値±2σ　の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
　　平均値±3σ　の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
という特性があります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

　これを、σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方にすると
　　平均値± 1.65σ　の範囲に、全体の度数の 90.0% が入る
　　平均値± 1.96σ　の範囲に、全体の度数の 95.0% が入る
　　平均値± 2.57σ　の範囲に、全体の度数の 99.0% が入る
ということになります。(この「全体の○○%」が「信頼区間」です）


＞分散・標準偏差の結果をどう評価すればいいのか、よくわかりません。

「評価」ではなく、「生データのそのものの値」です。「生データが、どのように分布しているか」という数値です。


＞たとえば、分散や標準偏差がどれくらいだったら、良い試験問題だった、などの評価基準はあるんでしょうか？
＞あるいは、入学試験はどのような分布が望ましくて、定期試験はどのような分布が望ましい、とか。

なんか、「原因」と「結果」を逆に考えていませんか？
「分散や標準偏差」は「試験結果から得られた受験者の特性（生データ）」であって、あくまで「受験生」の特性です。

あらかじめ「受験生」の特性が分かっていれば、「問題の特性」の評価に使えるのではないか、という発想ですか？

この回答へのお礼

丁寧なご回答、ありがとうございます。
私の問題意識がまだまだ混乱しているようです。

例えば入学試験の場合、合否の線を引くことが目的でしょうから、
ある程度、結果がバラつくような出題をする必要があるのではないかと思います。
ただバラつけばいいってもんでもないでしょうし、他科目とのバランスもあるでしょうし。
一方、学習の理解度を図る試験であれば、理解度のバラつき通りに
試験結果がバラつくような問題が望ましいのではないか、
そのためにはどのような問題を出せばいいのか、と作成者は考えるのではないかなぁ、
と思う次第です。

と、ここまで書いて、結局は、分散値が意味すること（評価）は、そのデータによる、
としか言えないのかなぁ、と思っています。

独り言みたいになってすみません。

改めてご回答、ありがとうございました。

お礼日時：2018/12/11 10:49