数A 分散と標準偏差の問題です。 画像の問ですが、解答をみても、黄色4角の式の意味が分かりません。こ

数A 分散と標準偏差の問題です。
画像の問ですが、解答をみても、黄色4角の式の意味が分かりません。この式を詳しく説明してください。

No.1 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/01/13 10:04

sx が24

xの平均が16なので四角上の式に代入しています

この時、四角上の式の左辺(xの二乗の平均)はそれぞれを二乗した値を個数で割った物(四角右の式)なので、二乗和を求めたければ右辺に個数を掛けたら良いだけになります

ようするに、四角上の式を
二乗和 = 個数 x (分散 + 平均の二乗)
という式に変形して代入しているだけです

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/13 13:56

そもそも、グループＡ、Ｂの元データを

{A} = {X1, X2, ･･･, Xn}
{B} = {Y1, Y2, ･･･, Ym}
とすれば

Ａの平均：Xbar = (1/n)ΣXi　　　①
Ｂの平均：Ybar = (1/ｍ)ΣYj　　　②

ということです。その上で、各々の分散は
Ａの分散：Va = (1/n)Σ(Xi - Xbar)^2　　　　③
Ｂの平均：Vy = (1/ｍ)Σ(Yj- Ybar)^2　　　　④

ということです。これは「定義」ですからよいですね？

その上で、例えば③を実際に分解してみれば
　Va = (1/n)Σ(Xi - Xbar)^2
　　= (1/n)Σ(Xi^2 - 2Xi･Xbar + Xbar^2)　　　←2乗を展開
　　= (1/n){ ΣXi^2 - Σ(2Xi･Xbar) + ΣXbar^2 }　　　←各々の「総和」に展開
　　= (1/n)ΣXi^2 - (1/n)Σ(2Xi･Xbar) + (1/n)ΣXbar^2

ここで
第2項：(1/n)Σ(2Xi･Xbar) = 2Xbar(1/n)ΣXi　　　←共通な定数をくくり出すと、(1/n)ΣXi = Vbar である
　　　　　　　　　　　　= 2Xbar^2
第３項：ΣXbar^2 は、定数 Xbar^2 を n 回足し合わせるだけなので ΣXbar^2 = nXbar^2
　　　　従って (1/n)ΣXbar^2 = Xbar^2
なので
　Va = (1/n)ΣXi^2 - 2Xbar^2 + Xbar^2
　　= (1/n)ΣXi^2 - Xbar^2
という式が得られます。これが「解説の２行目」の式です。
右辺第１項は「Xi^2 の平均値」ということですから。
これを変形して
　(1/n)ΣXi^2 = Va + Xbar^2
→　ΣXi^2 = n(Va + Xbar^2)
これが「黄色で囲った式」です。「n と Va と Xbar（の２乗）」を使って計算していますよね。

こういった「データの個数、平均値、分散の関係」は、一度自分で上のような式変形をしてみて、納得をした上で公式として「暗記」するなりして、活用できるようにしておくとよいですよ。

その上で、同じ公式を使って、全体の分散は
　全体の平均 μ = [ ΣXi + ΣYj ]/(n + m)
より
　全体の分散 s^2 = [ Σ(Xi - μ)^2 + Σ(Yj - μ)^2 ]/(n + m)
　　　　　　　　= [1/(n + m)][ΣXi^2 + ΣYj^2] - μ^2
で求まることになります。
この変形は、自分でトレースしてみてください。
（途中で
　　ΣXi + ΣYj = (n + m)μ
を使えば、ちゃんと求まりますよ）