この写真の定理4の証明について α-ε<an<α+ε としてからp+2個の数のどれよりも大きい数Mを

この写真の定理4の証明について
α-ε<an<α+ε
としてからp+2個の数のどれよりも大きい数Mを取るところが、-MからMの範囲に数列の要素を全部入れたいんだろうなというのは想像できるのですが、なぜこのp+2個の数からMを考えるのかを言葉にして説明することができません。

説明頂けると助かります。

あと|α-an|>M’-M>0がanがαに収束することに矛盾する理由はM,-M>εなるεについて|α-an|<εが成り立たないからなんでしょうか

こちらも宜しければ回答下さい

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/03/31 15:04

そのp+2個は有限個だからその中に一番大きいのがある。

だからＭをその最大値より大きく選べばp+2個はすべて＜Ｍになる。
だからn≦ｐのときはあきらかに|an|<Mだし
n>ｐでも
-Ｍ＜-|α-ε|≦α-ε＜an＜α+ε≦|α+ε|＜Ｍだから-Ｍ＜an＜Ｍ
ゆえにすべてのanについて|an|＜Ｍ

あとは|α-an|>M’-M＞0だとｎ→∞のとき|α-an|がM’-Mより下に行けないから
|α-an|が0に近づけない、つまりanがαに近づけないから矛盾。

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/31 07:32

画像が不鮮明で読み取りに苦労しますが、

「収束する数列{a[n]}は有界である」ことの証明の細部についてですね。
● lim a[n]=α とします。
与えられた１つの正数 ε に対し適当な番号ｐをとると、第(p+1)項から先はすべて区間(α-ε, α+ε)に収まり、とび出た項があっても最大 a[1], a[2], ..., a[p] のｐ個ですから、{a[n]}の全体はある区間(-M, M)に入るというわけです。
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※ たとえば ε=0.1 に対して, a[m] より先のすべての項が区間、(α-ε, α+ε) に入ると考えてください。