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ある決まりにしたがって、数が並んでいます。
1.2.4.7.11.16...
問題は2つあり
①10番目の数はなにか?
②92は左はしから数えて何番目の数か。

1番の問題は解けたのですが、2番の問題がわかりません。
解説には1+(1+2+....+12+13)とありますが、13までなどは大体の予想をたてながら発見していくのでしょうか?
①の問題で10番目の46が出たので、11.12.13と足していき予想を立てるのでしょうか?

教えてください。m(_ _)m

A 回答 (6件)

問題文の言葉づかいから、中学生に対する問題という事でしょうか?


高校生なら階差数列を用いて考えれば難なく答えが出ます。以下は中学生でもわかる考え方です

1 2 4 7 11 16・・・
 1 2 3 4  5  ・・・
これは、問題の並びの数をお隣同士で引き算して、その差を2段目に書きだしたものです。
これを見ると、1段目の数=(1段目の1つ前の数)+(差)
という規則があることが分かります。
例えば、「7」はその「1つ前の数4」と[下の段に書かれた差3]の和となっているということ

では4は? 2(ひとつ前)+2(差)=4です
2は? 1(ひとつ前)+1(差)=2です
これをひとまとめにすると
7=4(ひとつ前)+3(差)={2(ひとつ前)+2(差)}+3(差)={1(ひとつ前)+1(差)}+2(差)+3(差)です
つまり7は1段目の「1」と、2段目の差「1,2,3」の和として表されるという規則があると言えます。
この規則に従えば16は
16=1[1段目]+(1+2+3+4+5)[差]で
1段目左から6番目の数は?と問われれば
1段めの1と、
6-1=5から 差「1から5までの和」として1+(1+2+3+4+5)=16
を求めることが出来ることになるのです。

この事から、①は 10-1=9までの和に 1を加えた 1+(1+2+3+・・・+9)=46が答え と言うことが分かりますよね
②はこれを応用です。
92=1+(1から○までの和)=1+(1+2+3+・・・+○)ですから
⇔(1から○までの和)=(1+2+3+・・・+○)=91となる ○に当てはまる数を見つけることになります。
ここで、○の数を見つけるのは、予想でも良いです。
既に問題①で1+2+3+・・・+9=45は分かっているので91まではあと46不足です
1+2+3+・・・+9+10+11+・・・というように 9より大きい数を加えていったときに
10+11+・・・部分の和が46になればよいので
10代の数が4つ程度有れば良いというのは簡単に予想できます
つまり、(1+2+3+・・・+9+10+11+・・・+○)=91 となるためには○=13であればよいと予想できるという事になります
(このとき1+2+3+・・・+9+10+11+12+13 で10代の数は4つ)
実際に確認してみると、予想は正しいと分かるので ○=13 
冒頭の2段の数の列の表で考えれば ○=13なら2段目の数の列は全部で13個
従って92は14番目 と分かるのです

または、1+2+3+・・・+○=(1/2)(1+○)x○ と言う規則があることに気が付けば
1+(1+2+3+・・・+○)=1+(1/2)(1+○)x○=92として,○をyに置き換え
(1/2)(1+y)y=91という2次方程式をとき
○=y=13
を求めても良いです。

「10番目の46が出たので、11番目.12.13と足していき予想を立てる」
 のも良いですが、ここに挙げた考え方の中では一番苦労する方法です。
何故なら、本問は答えが14番目なのでさほど計算量は多くありませんが、もし仮に答えが100番目などの大きな数であった場合は、この方法だとテスト時間のすべてをこの問題につぎ込まないと答えが出ない なんていう事になってしまいます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
>1+(1+2+3+・・・+○)=1+(1/2)(1+○)x○=92として,○をyに置き換え
(1/2)(1+y)y=91という2次方程式をとき
○=y=13
を求めても良いです。
とありますが、計算したらy^2+y−182=0になりますが、これは因数分解?をして解くのでしょうか?

お礼日時:2019/04/17 23:11

1


1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10=(1+4)+(2+3)=(1+4)・(4/2)
………同様に
1+2+3+4+……+n=(1+n)n/2 になるから

1+(1+2+3+……+n)=1+(1+n)n/2=92とおけば
∴ (1+n)n/2=92ー1=91
∴(1+n)n=2・91=182
ここで(1+n)nは、n^2に近似値になるから
13^2=169<182<196=14^2 より
13・14=13・2・7=2・91=182
故に、13番目!
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
∴(1+n)n=2・91=182が解けずに困っています。_| ̄|○
n^2+n−182=0まではわかったのですが。。。

お礼日時:2019/04/17 23:14

1.2.4.7.11.16...の数列は階差数列と言います。


2項と1項の差=1
3項と2項の差=2
4項と3項の差=3
5項と4項の差=4
n項と(n-1)項の差=n-1
から
bn-b(n-1)=n-1 ⇒ bn=b(n-1)+(n-1)
=b(n-2)+(n-2)+(n-1)
=b(n-3)+(n-3)+(n-2)+(n-1)

            ・
            ・
           bn=b(1)+(n-(n-2))+(n-(n-3))+・・・+(n-1)
=1+2+3+・・・・(n-1)
=∑[k=1→(n-1)]k=(n-1)n/2から
an=a1+bn=1+(n-1)n/2
となります。
10番目はa10=1+9*10/2=46

92は92=1+(n-1)n/2を計算して182=(n-1)n=n²-nから
n²-n-182=0、n=1/2(1±√(1+728))=1/2(1±27)、n>0より
n=14
左から14番目
となるぜよ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
階差数列はじめて知ったぜよ。。。

お礼日時:2019/04/17 23:00

本当は最初の6項だけで一般項を決定できないのですが、


a[n+1] - a[n]=n, であるものと仮定します。このとき、
2≦nに対して、
a[n]=1+Σ[k=1~(n-1)] k=1+(n/2)(n-1)=(1/2)(n^2 - n+2).
(これはn=1のときも正しい)...(*)
となります。これより、
2) a[n]=92 をとき、n=14.
--------------------
※ 「一般項」(第n項)をnの式で表しなさい・・・という問題です。
(*) により何番目の項も、与えられた数値が第何項であるかも決定できます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2019/04/17 22:58

a(14)=1+13(14)/2


=1+7・13
=92
ですね、、、
何処で計算間違いしたのかな。

あーー
79+13=92ですね。

すみません、計算苦手なもんで。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!!

お礼日時:2019/04/17 22:57

a(1) = 1


a(2) = 1+(1)
a(3) = 1+(1+2)
a(4) = 1+(1+2+3)
ですので、
a(n) = 1+[i=1 to n-1] Σi= 1+(n-1)n/2
となります。
n(10) = 1+9x10/2=46
で検算できますし、

1+(n-1)n/2=92
をnについて解けば、何番目の数値かがわかるはずです。

a(11)=a(10)+10=56
a(12)=a(11)+11=67
a(13)=a(12)+12=79
a(14)=a(13)+13=82
a(15)=a(14)+14=96

なんか変ですね。 82なのかなぁ?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
解説には1+(1+2+3...+11+12+13)=92としか書かれていなかったです。_| ̄|○

お礼日時:2019/04/17 10:20

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