約数の個数について

ある問題で、「1×1999、2×1998、3×1997、…、998×1001、999×1000、これら999個の中で12で割り切れるものはいくつかあるか？」というのあって、なんとか自力で「166個」と答えを出したのですが、その計算の仕方がわかりません。

また、答えがあっているのかもわかりません。

この問題はある法則があることに気がついて、それを基に答えをだしたのですが、きちんと式をたてて答えるにはどうしたらいいでしょうか。

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2006/07/19 15:33

あちゃ、ミスタイプしてますね。

No.5の訂正です。

> 1行目は4で割れない。なぜなら、どれも（奇数）×(奇数)になっているから全部奇数であり、4では割り切れません。

ここんとこの「1行目は4で割れない。」は「1行目は4で割り切れない。」に訂正です。


> また、3行目も全部3で割り切れます。なぜなら、どれも（3の倍数）×（ナニカ）になっているからです。（あるいは：　(3)×(ナニカ）が3で割り切れるので、(3+3)×(ナニカ）も3で割り切れる。以下同様。）
念のため、実際に割ってみましょう。（つまり、1行目のa×bを全部 (a÷3)×bで置き換えてやるわけです。）

ここんとこの「つまり、1行目のa×bを」ってのは「つまり、3行目のa×bを」に訂正です。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2006/07/19 12:55

　「きちんと式をたてて答える」ことをご希望ですが、どんな問題も「ある式を立てれば、あとは式の通り計算したら答が出る」という形にしなくてはならない、という訳ではないんです。

そして、この問題はそういう形にするにはあまり適していません。

　この問題の場合、たとえば「2×1998が12で割り切れるかどうか」を調べるのに、
2×1998 = 3996
3996÷12 =?
とやったのでは、999通りを全部計算してみるしかない。そうではなくて、数列の規則性をうまく使って、なるべく計算をしないでエレガントに答を出すことが求められています。

●問題文の写し間違いについては、「1×1999、2×1998、3×1997、…、998×1002、999×1001」だとしましょう。
これらを4で割ったら割り切れて、さらにその答を3で割って割り切れるもの」を数えれば、（12=4×3だから）12で割り切れるものの個数が分かります。

●数列を2個ごとに分類して並べ、
1×1999, 3×1997, …, 997×1003, 999×1001 (500個)
2×1998, 4×1996, …, 998×1002 (499個)
と書いてみますと、
1行目は4で割れない。なぜなら、どれも（奇数）×(奇数)になっているから全部奇数であり、4では割り切れません。
2行目はどれも(2の倍数)×(2の倍数)だから、全部4の倍数であり、4で割り切れます。

●そこで2行目を4で割って答を並べてみましょう。つまり、2行目のa×bを全部(a÷2)×(b÷2)で置き換えてやるわけです。すると、
1×999, 2×998, …, 499×501 (499個)
となります。
さて、これらのうち3で割り切れるものはいくつあるか、が次なる問題です。

●この数列を3個ごとに分類して、
1×999, 4×996, …,496×504, 499×501 (167個)
2×998, 5×995, …,497×503 (166個)
3×997, 6×994, …,498×502 (166個)
と分けてみると、
1行目は全部3で割り切れます。なぜなら、どれも(ナニカ）×(3の倍数）になっているからです。（あるいは、こう考えても良いでしょう：　(ナニカ）×(999)が3で割り切れるので、(ナニカ）×(999-3)も3で割り切れる。以下同様。）
念のため、実際に割ってみましょう。（つまり、1行目のa×bを全部 a×(b÷3)で置き換えてやるわけです。受験数学の模範解答にはこんな計算は必要ないでしょうけれどね。）すると、
1行目：　1×333, 4×332, …,496×166, 499×167 (167個)
確かに割り切れました。

また、3行目も全部3で割り切れます。なぜなら、どれも（3の倍数）×（ナニカ）になっているからです。（あるいは：　(3)×(ナニカ）が3で割り切れるので、(3+3)×(ナニカ）も3で割り切れる。以下同様。）
念のため、実際に割ってみましょう。（つまり、1行目のa×bを全部 (a÷3)×bで置き換えてやるわけです。）
3行目：　1×997, 2×994, …,166×502 (166個)

さて、問題は2行目ですね。2行目は全部、3で割り切れません。なぜなら、どれも（3で割り切れないもの）×(3で割り切れないもの）になっているから、3で割り切れないのです。（あるいは：　2は3で割り切れないから(2+3)も3で割り切れず、998は3で割り切れないから(998-3)も3で割り切れない。ゆえに、(2+3)×(998-3)も3で割り切れない。以下同様。）

●かくて、4で割った答449個のうちで、1行目(167個)と3行目(166個)だけが3で割り切れました。


★肝心なのは、（式を使うかどうかなんかじゃなくて）以下の点です。
「 a × b が c で割り切れるならば、aがcで割り切れるかbがcで割り切れる（両方とも割り切れる場合もあります）。」
「 aもbもcで割り切れないならば、a × b も c で割り切れない。」
「 aがcで割り切れるかbがcで割り切れる（両方とも割り切れる場合もアリです）ならば、a × b も c で割り切れる。」
「 a × b が c で割り切れないならば、aもbもcで割り切れない。」

　これらの規則が成り立つことは、「どんな自然数も、素因数分解がちょうど一通りだけできる」という性質によって保証されています。

No.4 回答者： postro 回答日時： 2006/07/10 13:17

問題ちょっと違うんじゃないですか？これであってます？

いかにも解答っぽくやると、
「1×1999、2×1998、3×1997、…、998×1002、999×1001、これら999個の中で12で割り切れるものはいくつかあるか？」
この問題は、「a,bを正の整数とし、a+b=2000 ,1≦a≦999　を満たす。abが12の倍数になるようなaはいくつあるか」と同じ。
ab=a(2000-a)　　ここでaが奇数ならabは奇数なので１２の倍数にはならない。つまりaは偶数であることが必要。
a=2c (ｃは正の整数で　1≦c≦499）とおくと
ab=a(2000-a)=2c(2000-2c)=4c(1000-c)
よってcが3の倍数であるか、または(1000-c)が3の倍数であればabは12の倍数となる。
cが3の倍数のとき、c=3,6,9,・・・,495,498　（cは498/3=166 個）
(1000-c)が3の倍数のとき、c=1,4,7,・・・,493,496,499　（cは167 個）
cと(1000-c)は同時に3の倍数にはならないのでcは333個ある。
よってaは333個ある。

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2006/07/10 13:08

えっと、どこまで使っていいのでしょうか？

問題からすると中学レベルでしょうか？
また、問題の規則性がおかしいです。

1×1999、2×1998、3×1997、…、998×1001、999×1000
これは途中でずれていますね。

1×1999、2×1998、3×1997、…、999×1001、1000×1000
もしくは
0×1999、1×1998、2×1997、…、998×1001、999×1000
のはずですが。。。
ちなみに前者なら333個、後者なら334個12で割り切れるものがありますよ。

No.2 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2006/07/10 12:56

333個

No.1 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2006/07/10 12:42

こんにちは、araki8さん。

１６６個という答えを出した過程をかいてください。
12×1988
24×1976
36×1964
・・・・
という具合に１６６個全部書き出すと、自然と規則性が見つかると思いますが。