
A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
訂正です。
失礼しました。後半の部分は以下になります。
0<|n-N|<N₃を選べるので(liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、の仮定より)
ここでN₃=(N₁+N₂)/2と置けば、N₁+N₂=2εから
|(an+bn)ー(a+b)|≦|an-a|+|bn-b|<N₃=(N₁+N₂)/2=εとなる、よって、証明された。
No.2
- 回答日時:
εーδ論法ですね。
liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、任意の数εに対して
0<|n-N|<N₁と0<|n-N|<N₂を選べるのでε=N₁、N₂とおけば
|an-a|<ε=N₁と|bn-b|<ε=N₂と言った自然数が存在すると言えます。
lim(an+bn)=a+bを証明する場合もおなじです。任意の数εに対して
0<|2n-2N|<N₃を選べるので(liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、の仮定より)
ここでN₃=ε/2と置けば、N₁+N₂=2εから
|(an+bn)ー(a+b)|≦|an-a|+|bn-b|<N₃=N₁+N₂=εとなる、よって、証明されてた。
No.1
- 回答日時:
数列の極限の定義を教科書で確認しましょう。
そこに「nをどんどん大きくするとa_nがαにいくらでも近づくときlim[n→∞]a_n=aとする」
と書いてあったとすれば、あなたの学習は、この証明ができるところまで進んでいません。
lim[n→∞]a_n = a の定義は、
任意の正数 E に対して、n≧N ならば |a_n - a|<E が成立するような自然数 N が存在する
です。このように書いてある本を読んでから、この問題に戻ってくるといいでしょう。
極限の定義を理解しているとすれば...
写真の「仮定により」の「仮定」とは、lim[n→∞]a_n = a, lim[n→∞]b_n = b のことです。
上記の極限の定義を展開して書けば、
任意の正数 E に対して、n≧N1 ならば |a_n - a|<E が成立するような自然数 N1 が存在する,
任意の正数 E に対して、n≧N2 ならば |b_n - b|<E が成立するような自然数 N2 が存在する.
これを E = ε/2 に対して適用すれば、
n≧N1 ならば |a_n - a|<ε/2 が成立するような自然数 N1 が存在する,
n≧N2 ならば |b_n - b|<ε/2 が成立するような自然数 N2 が存在する.
となります。これが、「?」と書かれた箇所です。
「絶対値の性質(1.4)」というのは、写真には引用されていませんが、
三角不等式 |x+y| ≦ |x| + |y| のことですね?
これを x = a_n - a, y = b_n - b に対して適用すれば、n ≧ N1 かつ n ≧ N2 のとき
|(a_n - a) + (b_n - b)| ≦ |a_n - a| + |b_n - b| < ε/2 + ε/2 = ε
となります。
|(a_n + b_n) - (a - b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| ですから、
N ≧ N1, N ≧ N2 であるような N を採れば
n≧N ならば |(a_n + b_n) - (a + b)|<ε が成立するような自然数 N が存在したことになります。
ε は任意の正数でよかったので、
これは、lim[n→∞](a_n + b_n) = a + b の定義そのものです。
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