数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/13 10:49

放物線と、反比例曲線の交点の接線を調べて、該当する三角形の面積を考えるだけの事

y=ax²をxy=1に代入
ax³=1
⇔ax³-1=0
⇔a(x³-1/a)=0
⇔(x³-1/a)={x-(1/a)¹/³}{x²+x(1/a)¹/³+(1/a)²/³}=0　←←←3乗の因数分解公式利用
x=(1/a)¹/³　←←←交点のｘ座標
f(x)=ax²、g(x)=1/x(←←←yx=1⇔y=1/x=g(x)）とおくと
f'(x)=2ax,g'(x)=-1/x²　←←←これで接線傾きが出せる
以下はご自分で！
交点x=(1/a)¹/³における、２つの接線の式が求まるから、三角形の面積の式が得られる
その、面積の式はaの値によらず一定となるはず

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/07/13 20:22

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/13 20:07

y=ax^2 と xy=1 を連立して解けば、交点は (x,y)=(1/a^(1/3), a^(1/3))。

y=f(x) の x=b における接線は y=f’(b)(x-b)+f(b) だから、
y=ax^2 の x=1/a^(1/3) における接線は y = (2a^(2/3))x - a^(1/3) で、
これとx軸との交点は x = 1/(2a^(1/3))。
xy=1 の x=1/a^(1/3) における接線は y = (-4a^(2/3))x + 4a^(1/3) で、
これとx軸との交点は x = 1/a^(1/3)。

求めたい三角形の面積は、x軸を底辺と見て
{ 1/a^(1/3) - 1/(2a^(1/3)) }・(a^(1/3)) ÷ 2 = 1/4。
確かに、a によらず一定でしたね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/07/13 20:22