楕円内のビリヤードについて（ビリヤードのように動く 焦点を通らない、直線の軌跡をもとめる）

先日、　同様の質問をしました。　ある高校の先生が、　焦点を通らなければ、　直線群の包絡線として、　もとの楕円と　焦点を共有する　内側に、楕円、または、双曲線が得られる、、、、とおしえてもらいました。
　　この考えで、は、　焦点が同じ、２つの楕円内で、ビリヤードの球が、軌跡を描く、、、、
　これも、求めるのには、結構、めんどくさいです（小楕円に接する直線と　大楕円との交点を求め、そこから、　小楕円に、もう一方の接線を引き（求め）、また、その直線と、大楕円との交点求め、、、、５～６回すれば、くたびれます。、、、

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/04/06 23:40

条件が足りてないような気がしますが。

そのx軸と平行な、ｘ軸より僅かにｙが大きい直線を考えてください。
この直線が、外側の楕円の右端に当たったとき、その反射直線はどういう軌道を描くのか。
内側にで楕円ができるとしても、その図の楕円より、ずっと平べったい楕円ができるような気がするんですが。
あるいは、外側の楕円の接線がｘ軸に対して45度になるところから、ｘ軸に平行に、直線を引けば、３回反射して元のところに戻るでしょう。
その四つの直線を接線とする楕円ができるなら、その形状は容易に判るでしょうが、他の接線はどういう条件なんでしょうか。
例えば、外側の楕円の接線との角度は、外側の楕円のどこに交わっても一定である、とか。

もしそうなら、
外側の楕円の接点から話を始めた方が早いのでは。
その接点(ｘ1,ｆ(ｘ1))と接線から、角度θの直線を引く。
次に(ｘ1＋d,ｆ(ｘ1＋ｄ))についても同様に処理し、それらの直線の交点を見る、とか。
ｄを極限に小さくすれば、その交点は内側の楕円の接点でしょう。厳密な議論は知りませんが。
接線がその交点を接点に持つその直線でしょう。
もう少し細かくすると、両直線の僅かに内側に楕円があり、両直線を足して二で割った辺りが接線でしょう。

やり方は完全に忘れましたが、どうにかして積分すれば、その交点の軌跡の式が得られるのでは。
座標とその点の接点の傾きが判れば、たぶん元の式が出るでしょう。
ｙ＝ｘ^2でもそうでしょう。

やってないのでよく判りませんが、θ一定で(ｘ1,ｆ(ｘ1))、(ｘ2,ｆ(ｘ2))....、とするなら、表計算ソフト等を使わないと辛いでしょう。
あなたが何をどうやっているのかさっぱり判りませんが。