この問題の解き方を教えてほしいです。

この問題の解き方を教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/28 15:09

(1)

インピーダンスZは
Z=R₁+1/(1/jwL+jwC)=R₁+{jwL/(1-w²LC)}
I=E/Z=E(1-w²LC)/{R₁(1-w²LC)+jwL}
したがって、I=0 となるのは　w₁=1/√(LC)

(2)
V₀=E-R₁I=E[1-R₁(1-w²LC)/{R₁(1-w²LC)+jwL}]
=E[{R₁(1-w²LC)+jwL}-R₁(1-w²LC)]/{R₁(1-w²LC)+jwL}=E(jwL)/{R₁(1-w²LC)+jwL}

Z₀=1/(1/R₁+1/jwL+jwC)=jwLR₁/{R₁(1-w²LC)+jwL}
=w²L²R₁/{R₁²(1-w²LC)²+(wL)²}+jwLR₁²(1-w²LC)/{R₁²(1-w²LC)²+(wL)²}

(3)
Z₀=R₀+jX₀ とおく。テブナンの定理より、I=V₀/(Z₀+Z) 、また、Zの電圧Vは V=ZI
すると、Zで消費される電力Pは
P=Re(VI*)=Re(ZII*)=Re(Z|I|²)=Re(Z)|I|²=R|I|²=|V₀|²R/|Z₀+Z|²
=|V₀|²R/{(R+R₀)²+(X+X₀)²}

したがって、|V₀|²は定数なので、Pの最大は　f(R,X)=R/{(R+R₀)²+(X+X₀)²} の最大を求
めればよい。

∂f/∂R={(R+R₀)²+(X+X₀)²-R2(R+R₀)}/{(R+R₀)²+(X+X₀)²}²
={R₀²+(X+X₀)²-R²}/{(R+R₀)²+(X+X₀)²}²=0 → R₀²+(X+X₀)²-R²=0・・・・①

∂f/∂X={-2(X+X₀)}/{(R+R₀)²+(X+X₀)²}²=0 → X=-X₀
これを①に入れて、R=R₀
合わせて、X=-X₀,R=R₀　・・・・②
これは、停留点で極値または最大最小の候補であるが1つだけしかない。

なお、これが極大・最大となることは、さらに微分した判定式を計算するがとても複雑。
そこで、簡便法を取る。

まず、fはRとXが分離しているから、それぞれ独立にfが最大となる条件を求めればよい。
簡単なのは X=-X₀、すると f=R/(R+R₀)²となるが、AM-GM不等式、R+R₀≧2√(RR₀)
から、f≦R/(4RR₀) となり、等号はR=R₀だから、f≦R₀/4となる。

ゆえに、
R=R₀=w²L²R₁/{R₁²(1-w²LC)²+(wL)²}=1.6[Ω]
X=-X₀=-wLR₁²(1-w²LC)/{R₁²(1-w²LC)²+(wL)²}=-0.8[Ω]

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました。理解できました。

お礼日時：2019/08/01 19:07