A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
14+6×√5=14+2×√45=(3+√5)^2
従って√(14+6×√5)=3+√5
ですので、与式の小数部分は√5の小数部分と同じです。→ a=√5-2、a^2ーa^-2=-8√5,a^3ーa^-3=-76
No.4
- 回答日時:
小数部分を扱うためには、まず整数部分から考えましょう。
√(14+6√5) が、だいたいどのくらいの大きさか分かればよいですね。
2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^3 を見つければ、2 < √5 < 3 と判る。
これを使って 26 < 14+6√5 < 32 だから、
5^2 = 25 < 26 < 14+6√5 < 32 < 36 = 36 を見つければ、
5 < √(14+6√5) < 6 が判ります。
つまり、√(14+6√5) の整数部分は 5 です。
小数部分は、本体から整数部分を引いて、 a = √(14+6√5) - 5.
二重根号を外して √(14+6√5) = √(14+2√45) = √5 + √9
から考える手もあるでしょう。√(14+6√5) = √5 + 3 なので、
上記同様に 2 < √5 < 3 を見つければ、5 < √(14+6√5) < 6 です。
今回は √9 が整数なので、このやり方がかなり簡単です。
例えば √(12 + 2√35) = √5 + √7 なんかだと、
2 < √5 < 3, 2 < √7 < 3 を見つけた後に
(√5 - 2) + (√7 - 2) が 1 を超えないかどうかのチェックが必要になります。
後半ふたつを計算するためには、a - 1/a を計算しておくのがよいでしょう。
よく見かけるパターン問題ですね。
a = (√5 + 3) - 5 = √5 - 2 より
a - 1/a = (√5 - 2) - 1/(√5 - 2) = (√5 - 2) - (√5 + 2)/(√5 - 2)(√5 + 2)
= (√5 - 2) - (√5 + 2)/(5 - 4) = -4.
同様に
a + 1/a = (√5 - 2) + (√5 + 2)/(5 - 4) = 2√5.
これらを使って、
a^2 - 1/a^2 = (a - 1/a)(a + 1/a) = (-4)(2√5) = -8√5.
(a - 1/a)^3 = a^3 - 3a + 3/a - 1/a^3 = (a^3 - 1/a^3) - 3(a - 1/a)
より、
(a^3 - 1/a^3) = (a - 1/a)^3 + 3(a - 1/a) = (-4)^3 + 3(-4) = -76.
No.3
- 回答日時:
1・1
√((a+b)+2√ab)=√a+√bの公式を使います。
√(14+6√5)=√(14+2√(45))=√9+√5=3+√5=5+a (2<√5<3)から
答え:a=-2+√5
a²=9-4√5、1/a²=(9+4√5)より答え:a²ー1/a²=-8√5
a³=-38+17√5、1/a³=(38+17√5)より答え:a³ー1/a³=-76
どす
No.2
- 回答日時:
ANo.1です。
すみません、aの符号が逆でしたので、訂正します。
a=√5-2
a^2 - 1/a^2
=(√5-2)^2 - 1/(√5-2)^2
=9-4√5 - 1/(9-4√5)
=9-4√5 - (9+4√5)/((9-4√5)(9+4√5))
=9-4√5 - (9+4√5)
=-8√5
a^3 - 1/a^3
=(a - 1/a)(a^2 + 1 + 1/a^2)
=(√5-2 - 1/(√5-2))(9-4√5 + 1 + 9+4√5)
=19(√5-2 - (√5+2)/((√5-2)(√5+2)))
=19(√5-2 - (√5+2))
=19×-4
=-76
No.1
- 回答日時:
√(14+6√5)=√(3+√5)^2=3+√5なので、小数部aは
a=2-√5
となります。よって、
a^2 - 1/a^2
=(2-√5)^2 - 1/(2-√5)^2
=9-4√5 - 1/(9-4√5)
=9-4√5 - (9+4√5)/((9-4√5)(9+4√5))
=9-4√5 - (9+4√5)
=-8√5
a^3 - 1/a^3
=(a - 1/a)(a^2 + 1 + 1/a^2)
=(2-√5 - 1/(2-√5))(9-4√5 + 1 + 9+4√5)
=19(2-√5 - (2+√5)/((2-√5)(2+√5)))
=19(2-√5 + 2+√5)
=19×4
=76
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