この写真の高校数学の問題の解説をしていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。 数学 高校数学

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数学 高校数学 大学受験

No.5 回答者： motochans 回答日時： 2019/09/02 20:44

14+6×√５＝14＋2×√45＝（３＋√５）＾2

従って√(14＋6×√５)＝３＋√５
ですので、与式の小数部分は√５の小数部分と同じです。→　a=√５－２、a^2ーa^-2=-8√5,a^3ーa^-3=-76

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/31 14:52

小数部分を扱うためには、まず整数部分から考えましょう。

√(14+6√5) が、だいたいどのくらいの大きさか分かればよいですね。
2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^3 を見つければ、2 < √5 < 3 と判る。
これを使って 26 < 14+6√5 < 32 だから、
5^2 = 25 < 26 < 14+6√5 < 32 < 36 = 36 を見つければ、
5 < √(14+6√5) < 6 が判ります。
つまり、√(14+6√5) の整数部分は 5 です。
小数部分は、本体から整数部分を引いて、 a = √(14+6√5) - 5.

二重根号を外して √(14+6√5) = √(14+2√45) = √5 + √9
から考える手もあるでしょう。√(14+6√5) = √5 + 3 なので、
上記同様に 2 < √5 < 3 を見つければ、5 < √(14+6√5) < 6 です。
今回は √9 が整数なので、このやり方がかなり簡単です。
例えば √(12 + 2√35) = √5 + √7 なんかだと、
2 < √5 < 3, 2 < √7 < 3 を見つけた後に
(√5 - 2) + (√7 - 2) が 1 を超えないかどうかのチェックが必要になります。

後半ふたつを計算するためには、a - 1/a を計算しておくのがよいでしょう。
よく見かけるパターン問題ですね。
a = (√5 + 3) - 5 = √5 - 2 より
a - 1/a = (√5 - 2) - 1/(√5 - 2) = (√5 - 2) - (√5 + 2)/(√5 - 2)(√5 + 2)
= (√5 - 2) - (√5 + 2)/(5 - 4) = -4.
同様に
a + 1/a = (√5 - 2) + (√5 + 2)/(5 - 4) = 2√5.
これらを使って、
a^2 - 1/a^2 = (a - 1/a)(a + 1/a) = (-4)(2√5) = -8√5.

(a - 1/a)^3 = a^3 - 3a + 3/a - 1/a^3 = (a^3 - 1/a^3) - 3(a - 1/a)
より、
(a^3 - 1/a^3) = (a - 1/a)^3 + 3(a - 1/a) = (-4)^3 + 3(-4) = -76.

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/31 08:05

1・１

√(（a+b)+2√ab)=√a+√bの公式を使います。
√(14+6√5)=√(14+2√(45))=√9+√5=3+√5=5+a （２＜√５＜３）から
答え：a=-2+√5
a²＝９－４√5、1/a²＝（９＋４√5）より答え：a²ー１/a²＝－８√5
a³＝－38＋17√5、1/a³＝（38+17√5)より答え：a³ー１/a³＝－76
どす

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/08/30 22:43

ANo.1です。

すみません、aの符号が逆でしたので、訂正します。

a=√5-2

a^2 - 1/a^2
=(√5-2)^2 - 1/(√5-2)^2
=9-4√5 - 1/(9-4√5)
=9-4√5 - (9+4√5)/((9-4√5)(9+4√5))
=9-4√5 - (9+4√5)
=-8√5

a^3 - 1/a^3
=(a - 1/a)(a^2 + 1 + 1/a^2)
=(√5-2 - 1/(√5-2))(9-4√5 + 1 + 9+4√5)
=19(√5-2 - (√5+2)/((√5-2)(√5+2)))
=19(√5-2 - (√5+2))
=19×-4
=-76

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/08/30 22:38

√(14+6√5)=√(3+√5)^2=3+√5なので、小数部aは

a=2-√5

となります。よって、

a^2 - 1/a^2
=(2-√5)^2 - 1/(2-√5)^2
=9-4√5 - 1/(9-4√5)
=9-4√5 - (9+4√5)/((9-4√5)(9+4√5))
=9-4√5 - (9+4√5)
=-8√5

a^3 - 1/a^3
=(a - 1/a)(a^2 + 1 + 1/a^2)
=(2-√5 - 1/(2-√5))(9-4√5 + 1 + 9+4√5)
=19(2-√5 - (2+√5)/((2-√5)(2+√5)))
=19(2-√5 + 2+√5)
=19×4
=76