z=(1±√3i)/2のとき、 z^2、z^3、z^200を教えてください…。お願いいたします。

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質問者：飛鳥11
質問日時：2019/09/18 14:19
回答数：2件

z=(1±√3i)/2のとき、
z^2、z^3、z^200を
教えてください…。
お願いいたします。

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2019/09/18 14:49

複素数の極形式というのを勉強したでしょ？

z = (1 ± √3 i)/2 = (1/2) ± (√3 /2)i = cos(パイ/3) ± i*sin(パイ/3)

と書けます。

複素数の極形式では
　x = A[cos(θ) ± i*sin(θ)]
と書けるときには
　x^n = A^n [cos(nθ) ± i*sin(nθ)]
となります。

従って

z^2 = cos(2パイ/3) ± i*sin(2パイ/3) = -1/2 ± (√3 /2)i

z^3 = cos(パイ) ± i*sin(パイ) = -1

z^200 = cos(200パイ/3) ± i*sin(200パイ/3) = cos[(66 + 2/3)パイ] ± i*sin[(66 + 2/3)パイ] = cos[(2/3)パイ] ± i*sin[(2/3)パイ]
= -1/2 ± (√3 /2)i