この問題の解説をしてくださるかた、お願いいたします。

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質問者からの補足コメント

• 授業で解説をしなければならいので、突っ込まれそうな所も解説していただけるとうれしいです。

    補足日時：2019/10/04 17:32

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/04 20:39

(1) これは説明不要でしょう。

α = 3, β = -1.

(2) 黙々と計算しましょう。
b[n+1] = {a[n+1] - 3} / {a[n+1] + 1}
= {2 + 3/a[n] - 3} / {2 + 3/a[n] + 1}
= {(2 - 3)a[n] + 3} / {(2 + 1)a[n] + 3}
= {-a[n] + 3} / {3a[n] + 3}
= (-1/3) {a[n] - 3} / {a[n] + 1}
= (-1/3) b[n].
等比数列になっていますね。

ツッコミどころとしては、どの n についても
a[n]≠-1 で b[n] が定義されるのか？という点があるでしょう。
a[　] の漸化式から a[n]≠-1 ならば a[n+1]≠-1
が言えて、数学的帰納法によって ∀n,a[n]≠-1 となるのですが、
さらっと触れるくらいでいいと思います。
そこに力点を置くと、話が見えづらくなるから。

(3)
b[ ] の初項も計算すると
b[1] = {a[1] - 3} / {a[1] + 1}
= {1 - 3} / {1 + 1}
= -1 なので、(2)とあわせて
b[n] = (-1)(-1/3)^(n-1).

{a[n] - 3} / {a[n] + 1} = b[n] = (-1)(-1/3)^(n-1)
を a[n] について解けば、
a[n] = {b[n] + 3} / {-b[n] + 1}
= {(-1)(-1/3)^(n-1) + 3} / {-(-1)(-1/3)^(n-1) + 1}
= {-(-1/3)^(n-1) + 3} / {(-1/3)^(n-1) + 1}.

(4)
lim[n→∞] a[n] = lim[n→∞] {-(-1/3)^(n-1) + 3} / {(-1/3)^(n-1) + 1}
= {-0 + 3} / {0 + 1}
= 3.

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/04 21:00

No.2訂正です。

(３)anのマイナスの符号を落としてしまいました。
(４)極限値３です。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/04 20:40

a1=1,an+1=2+3/an……①

(１) x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=-1,3
α＞βより、α＝３、β＝-1

(２) bn=(an-α)/(an-β)=(an-3)/(an+1)
b1=(a1-3)/(a1+1)=(1-3)/(1+1)=-1

bn(an+1)=an-3
anbn+bn=an-3
anbn-an=-bn-3
an(bn-1)=-bn-3
bn≠１とすると、
an=-(bn+3)/(bn-1)

①より、
-(bn+1+3)/(bn+1-1)=2-3(bn-1)/(bn+3)
-(bn+1+3)(bn+3)=2(bn+1-1)(bn+3)-3(bn-1)(bn+1-1)
-(bn+1bn)-3bn+1-3bn-9=(2bn+1bn)+6bn+1-2bn-6-3(bn+1bn)+3bn+1+3bn-3
12bn+1=-4bn
bn+1=(-1/3)bn
bn=(-1/3)bn-1

よって、｛bn｝は、初項-1、公比(-1/3)の等比数列

(３)
bn=(-1)(-1/3)^(n-1)
これより、bn≠１

an=-(bn+3)/(bn-1)
={(-1)(-1/3)^(n-1)+3}/{(-1)(-1/3)^(n-1)-1}
={(-1)^n+3^n)}/{(-1)^n-3^(n-1)}

(４)
lim(n→∞)an=lim(n→∞){(-1)^n+3^n)}/{(-1)^n-3^(n-1)}
={lim(n→∞)(-1/3)^n+1}/-(-1/3)^(n-1)-1}
=1/(-1)=-1