A=K[x,y］(Kは体) q=(x,y^2)とする。 このときA/q=K[y]/(y^2) (この

A=K[x,y］(Kは体)
q=(x,y^2)とする。

このときA/q=K[y]/(y^2)
(この＝は同型を表します。)

を示したいです。

φ:A→ K[y]/(y^2)

φ(f(x,y))=f(0,y)+(y^2)

で定めるとこの写像について

1. φはwell-defined
2. φは全射
3.ker(φ)=q

を示せば良いと思います。

2.については任意のf(y)+(y^2)について

g(0,y)=f(y)となるようなAの元g(x,y)が取れるので全射でいいと思います。

3についてはqがker(φ)に含まれることはすぐに分かりますし、ker(φ)の任意の元f(x,y)はφ(f(x,y))=f(0,y)+(y^2)=0つまりf(0,y)は(y^2)に含まれるので
f(x,y)はqに含まれるということになり、示されます。

1のwell-definedについてですが、和と積について

[f1(x,y)]= [f2(x,y)]
[g1(x,y)]= [g2(x,y)]ならば

[f1(x,y)+ g1(x,y) ]= [f2(x,y)+ g2(x,y)]


[f1(x,y)g1(x,y)]= [f2(x,y) g2(x,y)]を示せばいいと思いますがこの証明がわかりません。どなたかこの部分の証明を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/10/18 19:07

q=(x,y^2)はx,y^2から生成されるイデアルだから

[f1(x,y)]=[f2(x,y)]
[g1(x,y)]=[g2(x,y)]
だから
f1(x,y)-f2(x,y)∈q=(x,y^2)
g1(x,y)-g2(x,y)∈q=(x,y^2)
だから
{f1(x,y)-f2(x,y)}+{g1(x,y)-g2(x,y)}
=
{f1(x,y)+g1(x,y)}-{f2(x,y)+g2(x,y)}∈q=(x,y^2)
だから
[f1(x,y)+g1(x,y)]=[f2(x,y)+g2(x,y)]

g1(x,y){f1(x,y)-f2(x,y)}∈q=(x,y^2)
f2(x,y){g1(x,y)-g2(x,y)}∈q=(x,y^2)
だから
g1(x,y){f1(x,y)-f2(x,y)}+f2(x,y){g1(x,y)-g2(x,y)}
=f1(x,y)g1(x,y)-f2(x,y)g2(x,y)∈q=(x,y^2)
だから
[f1(x,y)g1(x,y)]=[f2(x,y)g2(x,y)]