素朴集合論の最終結果と連続体仮説の解釈

素朴集合論において、連続体は無限次元でも相変わらず連続体のままであるってゆーことが証明されていますね。

ℵ^ℵ0 = ℵ

個人的に思うことは、素朴集合論はこの辺りがその最終到達点とみてよいのではないかと、またこの辺りの結論で十分に素朴集合論の役割は完了しているのではないかと。

それから連続体仮説についてはさまざまな解釈が可能であるが、決定的な解釈は存在しないことも判明しています。
そこで考えたのは、素朴集合論の範囲でも無限集合はこれまた無限に大きく拡大し得るが、「その拡大の無限遠方に連続体が位置する」と解釈することにしました。
このよーな解釈で連続体仮説の問題は一件落着すると考えてよいのではありませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/25 21:26

> まあ連続体仮説については一つの落とし所がないと後味が悪いですからね。

> このよーな考えで連続体仮説の問題を一件落着させてもよいのではありませんか？

そのように思いたいなら勝手に思えば良いですけど、数学的な考え方ではないですね。
数学的には連続体仮説は
『連続体仮説は、ZFCが無矛盾なら証明も反証もできない。』
ことが分かった時点で普通の数学(=ZFC)の範囲外です。
現代の普通の数学は基本ZFC前提で議論をするので、基礎論以外では連続体仮説が現れることはほぼありません。普通に数学をやるなら連続体は加算無限の冪であれば良く、それが何番目の非可算無限かはどうでも良いことですから。
一部の定理は連続体仮説を使った方が証明が簡単な場合があるかもしれませんが、必要でないのに連続体仮説を使った証明をすると手抜きと思われますし。
逆に連続体仮説がないと証明できないような命題はかなりナイーブですね。

この回答へのお礼

無限集合の濃度を真に増加させる集合演算は冪演算以外に知られたものはありますか？

お礼日時：2019/10/26 10:20

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/25 20:40

質問と言うより単なる意見表明(それも意味のない)に過ぎないようですが、回答も明らかな間違いを含んだものがあるので、修正しておきます。

回答1より
> アレフヌルとアレフ1の中間の濃度が有る

アレフ0(ℵ0)とアレフ(ℵ)の間ね。ℵ0とℵ1の間には中間濃度なんて存在しない。
あとアレフ0は普通アレフゼロと呼んでアレフヌルなんて言い方はしないと思うけど、なんでこういう変に気取った物言いをするんでしょう?

連続体仮説(命題)は、ZFCが無矛盾なら証明も反証もできないことが証明されている。
反証できないから連続体仮説は真と考えても良いが、証明できないから偽と考えても良い。
連続体仮説が正しくないと考えたとき、連続体の濃度がどのくらい大きいかというのはまた別の命題だが、これが結構自由に設定できることが分かっている。これは例えばℵ＝ℵ2と考えても、ℵ＝ℵ3と考えても、それぞれに矛盾なく別の数学が展開できるということ。もちろん、ℵ＝ℵ2とℵ＝ℵ3を同時に成立させることはできないが。
だがそもそも数学の議論で連続体仮説が必要なものはほとんどないので、ℵ＝ℵ1だろうが、ℵ＝ℵ2だろうが、それ以外だろうがおおよその数学議論には関係ない。
そういうことをやりたければ基礎論をやって下さい。
ただし基礎論は素朴集合論では議論できないので、公理論的集合論を理解する気がないなら、そもそも基礎論的話題には興味を持たないことです。

この回答へのお礼

＞質問と言うより単なる意見表明(それも意味のない)に過ぎないようですが、・・・

そんなことはないですよ。
質問の中身は、「素朴集合論の範囲でも無限集合はこれまた無限に大きく拡大し得るが、「その拡大の無限遠方に連続体が位置する」と答えを与えるのも一つの方法として成りたつのではないでしょーか？」というものです。
まあ連続体仮説については一つの落とし所がないと後味が悪いですからね。
このよーな考えで連続体仮説の問題を一件落着させてもよいのではありませんか？

お礼日時：2019/10/25 21:02

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2019/10/25 13:17

＞それから連続体仮説についてはさまざまな解釈が可能であるが、

さまざまではござらん。
無限集合の濃度に関して、
アレフヌルとアレフ1の中間の濃度が有る、とする説と
アレフヌルとアレフ1の中間の濃度は無い、とする説の
二つだけだ。二つをさまざまと呼ぶのは、保育園児級の知能なのか？

＞素朴集合論の範囲でも無限集合はこれまた無限に大きく拡大し得るが、

無限集合は元の数を拡大することはできない。そこが有限集合と異なるところだ。
無限集合にはその定義の時点で固有の濃度が決まり、この集合の濃度が増減することはない。
無限集合の冪集合を取れば、一つ濃度が高い集合を定義できるが、これは原集合が変化したのではなく、新たな集合を作っただけでござるよ。

＞このよーな解釈で連続体仮説の問題は一件落着すると考えてよいのではありませんか？

いいえ。
連続体仮説の件は、貴方が参加しなくてもゲーデルの第一不完全定理で整理はつている。
中間濃度の無限集合があるという態度をとっても、中間濃度の無限集合はないという態度を取っても、いずれも無矛盾な数学の体系が作れるということなのでござる。

この回答へのお礼

＞二つだけだ。二つをさまざまと呼ぶのは、保育園児級の知能なのか？

素朴集合論においても無限集合の序列は無限に生成可能で、

ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < ℵ4 <・・・ ℵn < ・・・

このうち連続体ℵは上記無限集合の序列のどの位置に当てはめても矛盾は生じない。
だから二つだけではありません。

＞中間濃度の無限集合があるという態度をとっても、中間濃度の無限集合はないという態度を取っても、いずれも無矛盾な数学の体系が作れるということなのでござる。

その中間濃度の無限集合はいったい何個とることができる？

お礼日時：2019/10/25 13:41