NとRとℵ1とℵ2の関係

自然数全体の集合Nと実数全体の集合Rと連続体濃度ℵ1と連続体濃度の次の濃度ℵ2に対して、

ℵ2=2^R=2^(2^N)

は成り立つ？

No.1 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/24 10:59

先行する質問への回答でも述べていますが、ℵ1は最初の非可算濃度であり連続体濃度ではありません。

ℵ2もℵ1の次の濃度であり連続体濃度の次の濃度ではありません。
それで無限濃度の次の濃度が前の濃度の冪濃度になるというのは一般連続体仮説と言います。そしてこれは連続体仮説と同じく証明も反証もできない命題です。
要するにモデルの作り方によってこの命題が正しいモデルも正しくないモデルも作れるのです。
# https://ja.wikipedia.org/wiki/連続体仮説

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞ℵ1は最初の非可算濃度であり連続体濃度ではありません。ℵ2もℵ1の次の濃度であり連続体濃度の次の濃度ではありません。

これは理解しました。
そこで確認ですが、素朴集合論によると無限集合の濃度は無限に存在すると言われていますよね。
例えば次のように無限集合を生成していけば、無限集合の序列は無限に続く、つまりどれほど大きな無限集合に対しても常にそれより大きな無限集合が（例えば冪操作によって）生成可能と理解してよいですよね？

N
2^N
2^(2^N)
2^(2^(2^N))
2^(2^(2^(2^N)))

お礼日時：2019/10/24 18:39

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/24 21:48

少なくとも冪集合を作ることでより濃度の大きい集合を作ることができることは保証されます。

だから少なくとも可算個の集合の拡大列は作れるわけです。
N ＜ 2^N ＜ 2^2^N ＜ ...
ただそれだけで全ての集合の濃度を尽くせるかどうかは何ともいえません。世の中には到達不能基数なんて概念もありますから。
# もちろん到達不能基数の存在はZFCから証明できません

No.3 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2019/10/24 14:52

これはゲーデルの第一不完全定理の実例でごわす。

Es muss in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben, die man weder formal beweisen noch widerlegen kann.

この回答へのお礼

実無限とか可能無限とかあっち系統の話ではないんでよろしく。

お礼日時：2019/10/24 18:54

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/10/24 12:23

ℵn₊₁＝2^ℵnが成り立つ仮説が一般連続体仮説だから、あくまで仮説。

成り立つ、とも、成り立たないとも言えない。

もしかすると公準かも知れない。