メルセンヌ素数でない素数は無限に存在するか？

素数は無限に存在することが知られています。
ユークリッドやオイラーの証明があります。

また、コンピュータでは、大きい素数を探すときに、
メルセンヌ素数を探します。
しかし、メルセンヌ素数は無限にあるかどうかわかりません。

ここで、質問です。
メルセンヌ素数でない素数は、無限にあるのでしょうか？

素数はメルセンヌ素数かメルセンヌ素数でない素数のどちらかです。
その二種類を合わせると、無限個ありますから、
メルセンヌ素数が有限個ならば、メルセンヌ素数でない素数は無限個あるとわかります。

でも、メルセンヌ素数は有限個しか見つかっていないだけで、
本当に有限個かどうかはわかりません。
メルセンヌ素数でない素数が無限個あるかどうかもわからないのではないでしょうか？

それとも、他の方法で、わかるのでしょうか？
例えば、メルセンヌ数（素数とは限らない）とメルセンヌ数（素数とは限らない）の間には、
２個以上のメルセンヌでない素数が存在することがわかっているとか。

でも、ずっと先に行くと、素数はすべてメルセンヌ素数になっているということは
考えられないでしょうか？

しかし、双子素数が無限に存在するならば、メルセンヌ素数でない素数が無限に存在しそうですね。
双子素数より弱くても、よさそうですね。

素数分布とか考えると、どうなるのでしょうね。
やっぱり、メルセンヌ素数でない素数は無限個あるような気がしてきました。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/04 11:02

「メルセンヌ数（素数とは限らない）とメルセンヌ数（素数とは限らない）の間には、２個以上のメルセンヌでない素数が存在する」

ことは示されているといっていいでしょう.

「隣接する 2つのメルセンヌ数」の間に少なくとも 1個の素数 (当然メルセンヌ素数じゃない) が存在することは分かってますし.

この回答へのお礼

そうですよね。Nと２Nの間には、素数が存在するということってありましたからね。

お礼日時：2012/06/04 14:17