無限集合の濃度

無限集合の濃度について解説してもらえません？

No.3 回答者： aster 回答日時： 2002/07/21 18:21

　

「濃度」というのは、集合の「大きさ」を示す指標ですが、有限集合と、無限集合では少しその意味が違って来ます。

一般に集合には、「濃度」という量があるとされます。有限集合の場合、濃度は、その集合の「大きさ」と等しくなります。つまり、要素が１００の集合の濃度は、１００です。一般に、要素の数が、有限のｍ個の集合の濃度はｍです。ｍは無論、自然数です。

有限集合、無限集合、両方の場合で、二つの集合ＡとＢは、両者のあいだに、一対一対応写像が存在するとき、二つの「濃度は等しく」なります。（一対一対応写像とは、全単射のことですが、これは有限集合の場合は、そう言っても構いませんが、無限集合の場合は、用語としてどうかと思います）。

有限集合の場合、どういう単射写像を取っても、二つの集合のあいだに、一対一対応写像が存在すれば、両者の濃度は等しくなります。

しかし、無限集合の場合、「単射写像の取り方により」、一対一対応写像が存在する場合と、存在しない場合があります。

通常、自然数の集合の濃度を、アレフ・ゼロと呼びます。可算無限とか、可付番無限とか呼びます。無限の要素に、番号を付けて、数えることができるように思えるからです。

これよりも、濃度の濃い無限集合は、実数の集合であるとされます。実数の集合の濃度を、アレフ１と呼びます。連続体濃度とも呼びます。

カントールの無限集合論では、無限集合の濃度を、仮に記号で表して、ｆとかｇとします。ｆ＜ｇとします。

すると、
ｆ＋通常の数＝ｆ
ｆＸ通常の数＝ｆ
ｆ＋ｆ＝ｆ
ｆＸｆ＝ｆ
ｆ^n＝ｆ　ｎは自然数
ｆ＋ｇ＝ｇ
ｆＸｇ＝ｇ
となります。

自然数と整数の集合の濃度を比べると、そもそも、整数のなかに自然数が含まれますから、｜自然数｜＜｜整数｜というのは自明なようにも思えます。つまり全射という視点からは、自然数と整数の無限は、整数の無限の方が濃度が高いように思えます。

しかし、単射という観点からは、任意の自然数をａとすると、ａが偶数の場合、ｂ＝－ａ／２、ａが奇数の場合、ｂ＝（１＋ａ）／２とすると、自然数から整数への単射を作ることができ、この単射は、全射でもあり、つまり、一対一対応写像であることから、自然数と整数の無限濃度は等しいということになります。

同じようにして、偶数全体の集合の濃度と、整数の集合の濃度が等しいことが証明できます。

可付番無限と連続体無限は、そのあいだに、「一対一対応写像」が存在するとすると、矛盾が生じることが証明でき（普通、「対角線論法」というものを使います）、従って、アレフ・ゼロより、アレフ１の方が、濃度が高いことになります。

一般に、ある無限集合がある時、その無限集合の濃度をｆで表すと、２^f は、ｆとのあいだに一対一対応写像があるとすると、矛盾になるので、ｆより高い濃度と考えられ、２^f＝ｆ＋１と書きます。

しかし、アレフ・ゼロ無限とアレフ１無限のあいだに、中間濃度の無限集合があるのかどうかが問題になります。これを、「連続体仮説」と言います。また、一般にアレフｆとアレフｆ＋１のあいだに、中間濃度の無限集合があるのかという問題もあり、これを、「一般連続体仮説」と言います。

これについては、中間濃度は、あるとしても、無限論は矛盾なく作れ、ないとしても、同じく矛盾なく作れるということが証明されています（コーヘンの証明です）。

少し難しいですが、以下のＵＲＬを参照してください：

＞連続体仮説
＞http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetThe …
　

参考URL：http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetThe …

No.2 回答者： Esna 回答日時： 2002/07/20 19:36

こんにちは．Esnaです．

集合A,Bがあったとき，AからBに全単射が存在するとき，AとBは等しい濃度をもつといいます．

自然数の集合Nは，無限集合ですが，これを可算無限集合といいます．無限集合の中で濃度がもっとも小さいものです．濃度は，アレフ0です．
ある集合AがNに対して，全単射が存在すれば，AはNと同じ濃度を持ちます．

また，自然数の集合の濃度より大きい濃度をもつ集合を非可算集合とよびます．実数の集合は，非可算集合で，連続体濃度と呼ばれ，その濃度は，アレフです．

No.1 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/07/20 19:15

もう少し具体的に、知りたいことを述べて頂けないでしょうか？