No.7ベストアンサー
- 回答日時:
#4 です.
f' が全単射であることは, f が全単射であることを使って次のように示すことができます:
・単射であること
x1 ≠ x2 なら f'(x1) ≠ f'(x2) であることを示す. ここで x1 ≠ x2 なら ([x1] ≠ [x2] または x1 - [x1] ≠ x2 - [x2]) である. よって,
1.[x1] ≠ [x2] と仮定すると f は単射なので f([x1]) ≠ f([x2]) である. 一般性を失うことなく f([x1]) > f([x2]) を仮定できる. ここで f の値域は Z なので f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 であることに注意する. x1 - [x1], x2 - [x2] はどちらも 0以上 1未満なので
f'(x1) = f([x1]) + (x1 - [x1]) ≧ f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 > f([x2]) + (x2 - [x2]) = f'(x2).
よって f'(x1) ≠ f'(x2).
・全射であること
y ∈ R に対し f'(x) = y なる x が (f' の定義域中に) 存在すればよい. f が全射なので f(z) = [y] となる z ∈ Dom(f) が存在する. このような z を用いて z1 = z + (y - [y]) とおくと [z1] = z なので z1 ∈ Dom(f') であり, かつ
f'(z1) = f([z1]) + (z1 - [z1]) = f(z) + (z1 - z) = [y] + (y - [y]) = y.
なので, 「整数部は『元に戻し』て, 小数部をひっつける」という方針でいけるはずです.
ご回答有り難うございます。
おかげさまで納得できました。m(_ _)m
B:={f:map|f:A(∈2^Z\{Φ}\{Z})→Z}の時、B≠Φだから
(∵f:{2z|z∈Z}(=:A)→Z;A∋a(=2z)→a/2∈Zというものが採れる)
よってf∈Bに対し、
f':Dom(f)→R;Dom(f)∋x→f([x])+(x-[x])で与えると
f':全単射
(∵
単射である事は略。
全射である事を示す
∀y∈Rに対し、∃f^(-1)([y])∈Dom(f) (∵[y]∈Z,f:全単射)より
x:=f^(-1)([y])+(y-[y])と採れる。
実際、
f'(x)=f'(f^(-1)([y])+(y-[y]))
=f([f^(-1)([y])+(y-[y])])+(f^(-1)([y])+(y-[y])-[f^(-1)([y])+(y-[y])])
=f(f^(-1)([y])+(f^(-1)([y])+(y-[y])-[f^(-1)([y])+(y-[y])])
(∵
z+ε:=y(z∈Z,ε∈[0,1))と置くと
[f^(-1)([y])+(y-[y])]=[f^(-1)([z+ε])+(z+ε-[z+ε])]
=[f^(-1)([z+ε])+(z+ε-z)] (∵ガウスの記号の定義)
=[f^(-1)([z+ε])+ε]
=f^(-1)([z+ε])(∵fの定義よりf^(-1)([z+ε])∈Z)
)
=[y]+(f^(-1)([y])+(y-[y]))-(f^(-1)([y])
=y
よってf:全射
)
よって
全単射 ∃f':A(∈2^R\{Φ}\{R})→R より
R:無限集合
No.6
- 回答日時:
#5 です. ボケてますね. 悲しいのでボケてない回答を:
関数 f を, 定義域 Dom(f) ⊂ Z, 値域 Range(f) = Z である任意の全単射とします. このとき, 実数x に対して
f' = f([x]) + (x - [x])
と定義します ([x] は Gauss 記号).
この f' は定義域が {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}, 値域が R となることは明らか.
ご回答有り難うございます。
> 関数 f を, 定義域 Dom(f) ⊂ Z, 値域 Range(f) = Z である任意の全単射とします.
例えば
f:{2z|z∈Z}(=:A)→Z
A∋a(=2z)→a/2∈Z
で与えればfは全単射ですよね。
> このとき, 実数x に対して
> f' = f([x]) + (x - [x])
> と定義します ([x] は Gauss 記号).
f'でのxの定義域はf([x])の[x]が偶数にならないといけないから ∪[2z,2z+1) ですね。
> この f' は定義域が {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}, 値域が R となることは明らか.
{x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}=∪[2z,2z+1)
でRの真部分集合になってますね。
単射である事は
x1≠x2なるx1,x2∈{x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}を採ると
f([x1]) + (x1 - [x1])- {f([x2]) + (x2 - [x2])}
= 1/2[x1] + (x1 - [x1])- {1/2[x2] + (x2 - [x2])}
=1/2([x1]-[x2])-[x1]+[x2]+x1-x2
=-1/2([x1]-[x2])+x1-x2…(*)
となり、x1≠x2よりx1=x2+aなる(0≠)a∈Rが存在する、
(i) a>0の場合、(*)に代入して
=-1/2([x2+a]-[x2])+x2+a-x2
=-1/2z+a (z∈[0,1,…]) と書け、-1/2z<aより、-1/2z≠aで
≠0
又、(ii) a<0の場合も同様。
よって
f'(x1)≠f'(x2)
でf':単射
それで全射の場合は
∀y∈Rに対し、どのようにxを定めればいいのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
そのような全単射写像はいくらでもあるんではないですか?たとえば、
tan x:(-π/2,π/2)→(-∞,∞)
ですね。
No.3
- 回答日時:
1/x は嘘でした。
ごめんなさい。{0}の逆元はないですね。R\{0}→R\{0}でした。分数関数などで作るのはたぶん無理だと思います。これも広義には関数を用いた例ですが、たとえば[0,1)→[0,2)なる写像x→2xを参考にして、[2,3)→[2,4):x→2x-2などを使って、∪_{n=-∞~∞}[2n,2n-1)→Rは作れます。本質的には多項式しか使ってません。直感的には[0,2)が無限集合であること使っているだけですけどね。
No.1
- 回答日時:
たとえばI=(-π/2,π/2)⊂Rとして、f:I→Rをtanで定義すると全単射です。
どころかC^{∞}-級微分同相にさえなります。実際問題として、構成的にならいくらでも全単射は作れますが、関数を利用したものの方がわかりやすいでしょうね。log:(0,∞)→Rなんかを用いてもよいでしょう。あるいは分数関数1/xなんかはR\{0}→Rの全単射ですね。有り難うございます。
> 分数関数1/xなんかはR\{0}→Rの全単射ですね。
これが一番わかりやすいです。
でもf:R\{0}→R;R\{0}∋x→f(x)∈R
において
逆元 f^-1(0) は存在するのでしょうか?
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