群論の問題

「A を半群とし、集合として有限集合であるとする。A において左簡約律「ab = ac ならば b = c」と右簡約律が成り立つならば A は群であることを示せ。また、Gが無限半群であるときはそうはならないが、そのような例を示せ。」
という問題で、「写像 f : A → A を f(x) = ax で定めるたとき、A は有限集合なので f は全射となる」ことの正確な理由がわかりません。(本当にすべての元に写るようなxが具体的にきちんと存在するのか？単射性は簡約律からわかります。)
また、後半の例について、どのような例があるのかがわかりません。
もしも可能であれば、お教え頂けると大変有り難く思います。

No.1 ベストアンサー 回答者： lx002PH 回答日時： 2014/01/17 16:59

有限集合AからAへの単射は全射だからです。

もし値域に無いαがあれば、AにはA→A＼{α}なる真部分集合への単射があるので無限集合になってしまいます。
無限集合での反例は正の整数の加法半群とか乗法半群とか。

この回答へのお礼

お返事を頂き、有り難うございます。
お陰様で、きちんと理解することができました。

お礼日時：2014/01/20 19:11