級数の収束発散について

1/(n!)の無限級数(1/n!をn=1,2,3...で代入して無限に足す)って収束しますか?

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/11/05 21:43

収束し、収束値はe-1（eは自然対数の底、ネイピア数ともいう）になります。

指数関数e^xのマクローリン展開における、x=1に該当します。

e^x=Σ[n=0, ∞]x^n/n!
=1+Σ[n=1, ∞]x^n/n!

x=1を代入すると、
e=1+Σ[n=1, ∞]1/n!
Σ[n=1, ∞]1/n!=e-1

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/06 15:57

No.1さんの説明は理解しておいたほうがいいです。

指数関数のテーラー展開は、様々なべき級数を扱う基礎となります。

今回の収束を判定するだけなら、ダランベール判定法で
lim[n→∞] | {1/(n+1)!} / {1/n!} | = lim[n→∞] 1/(n+1) = 0 < 1
より収束だけでも十分ですけど。