数学についてです。 lim(x→0){e^x-e^(-x)-2x}/(x-sinx)をマクローリン展

数学についてです。
lim(x→0){e^x-e^(-x)-2x}/(x-sinx)をマクローリン展開を使って求めてください。

質問者からの補足コメント

• { e^x - e^(-x) - 2x }/(x - sin x)のx^3より後の項はどうなるのですか？
  分子と分母で符号が違うので(分子はx^5/5!だが、分母は-x^5/5)、約分できないと思うのですが、そこの部分をどのように計算するのか教えてください。

    補足日時：2019/11/10 16:42

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/10 21:11

本当にマクローリン展開を使ってしまうと、計算の途中で

lim[x→0] とマクローリン展開の Σ[k=0→∞] という
ふたつの極限操作の順序交換が必要になって、
それをやっていいのか？という点に説明を要してしまいます。
べき級数の収束は収束円の内部で広義一様ということから
項別の極限操作が正当化されるのですが、その話をすると
高校生にはちょっと辛いかなと。そこで、
マクローリン展開の替りに有限次のマクローリン近似を使った
のが No.1 です。ランダウの o 記号も、その点いまいちなので、
剰余項に名前をつける形で書き換えてみましょうか。

問題の式に現れる e^x, sin x を有限次マクローリン近似すると、
e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + Re(x),　lim[x→0] Re(x)/x^3 = 0,
sin x = x - (1/6)x^3 + Rs(x), lim[x→0] Rs(x)/x^4 = 0.
と書けます。これを使って、
{ e^x - e^(-x) - 2x }/(x - sin x)
= { { 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + Re(x) } - { 1 - x + (1/2)x^2 - (1/6)x^3 + Re(-x)) } - 2x }/( x - { x - (1/6)x^3 + Rs(x) } )
= { 2(1/6)x^3 + Re(x) - Re(-x) }/( (1/6)x^3 + Rs(x) )
= { 2 + 6( Re(x)/x^3 + Re(-x)/(-x^3) ) }/( 1 + 6Rs(x)/x^3 )　　； (1/6)x^3 で約分した
ここで x→0 とすると、
{ e^x - e^(-x) - 2x }/(x - sin x)
→ { 2 + 6( 0 + 0 ) }/( 1 + 6・0 ) = 2.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/11 12:16

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2019/11/10 17:38

約分するというか分母分子に1/x³をかけるということです。

すると
分子は＝2/3!＋(2/5!)x²＋‥‥
分母は＝1/3!－(1/5!)ｘ²＋‥‥
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/11 12:16

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/11/10 16:33

分母分子の各関数をｘ⁵まで展開し、同類項を整理して

分母分子の各マクローリン展開をｘ⁵まで求めておく、
それから分母分子をｘ³で割ってｘ→0とする。
答えは　2　です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/10 14:54

マクローリン展開を使って？

e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + o(x^3),
e^-x = 1 - x + (1/2)x^2 - (1/6)x^3 + o(x^3),
sin x = x - (1/6)x^3 + o(x^4)
を使って
{ e^x - e^(-x) - 2x }/(x - sin x)
= { { 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + o(x^3) } - { 1 - x + (1/2)x^2 - (1/6)x^3 + o(x^3) } - 2x }/( x - { x - (1/6)x^3 + o(x^4) } )
= { 2(1/6)x^3 + o(x^3) }/( (1/6)x^3 + o(x^4) )
= { 2(1/6) + o(1) }/( (1/6) + o(x) )
= 2 + o(1)
とか、そゆこと？