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数学の謎。数学の不思議。

分数の割り算。なぜ割る数をひっくり返して掛けるのか。どういう理屈でそうなるのか教えて下さい。

A 回答 (6件)

「約分」って、知ってますか?


分数の分子と分母を同じ数で割っても、分数の値は変わらないということです。
同様に、分数の分子と分母に 0 以外の同じ数を掛けても、分数の値は変わりません。
(a/b)÷(c/d) は、繁分数(分子や分母にまた分数が入ったような分数)で
(a/b)/(c/d) と書けます。この分数の分子と分母に b×d を掛けると、
(a/b)/(c/d) = {(a/b)×b×d)}/{(c/d)×b×d} = (a×d)/(c×b) = (a/b)×(d/c).
となります。結果的に c/d をひっくり返した d/c を掛けたことになりますが、
そうしようと思ってしたのではなく、計算してみたらそういう結果になっただけです。
でも、この結果は計算方法として覚えやすいですよね? それだけのことですよ。
「鳴くよウグイス平安京」と聞いて、誰がウグイスが鳴いたと確認したのか?
とは追求しませんよね? これは、そういう話です。
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この回答へのお礼

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お礼日時:2019/12/06 23:42

例えば


3÷3=1について
割る数と割られる数をともに2倍しても
6÷6=1で商は変りません
3倍ずつして割り算しても同じく商は1です

6÷3=2についても
2倍して12÷6=2
何倍にして割算しても商は2です

これは仮にリンゴを子供に配る場面を想定して、
割られる数がリンゴの個数、割る数が子供の数 と捉えれば
商はその比の値(6:3=12:6などの比の値)に相当と言う意味を持ちますから
割る数と割られる数を n倍してから割り算しても商が変わらないのは当然です
簡単に言えば、リンゴの数が2倍3倍になっても、子供の数も2倍3倍になれば、こども1人分の配当は変わらないという事です

または、割られる数=商x割る数+あまり という関係(公式)がありますから
あまり=0として
割られる数=商x割る数です
両辺n倍すれば
割られる数xn=商x(割る数xn)ですから
割られる数と、割る数を同じ倍率で拡大しても商は変わらないことが分かります

これを踏まえて、
たとえば4÷(2/3)=4x(3/2)=6
分数が嫌だからと言う理由で、割る数、割られる数を共に3倍しても商は変わらず
12÷2=6です

※割る数を1にしたいという理由なら2/3に逆数(3/2)倍すれば良いですから
割算全体を(3/2)倍です
このとき
{4x(3/2)}÷{(2/3)x(3/2)}
={4x(3/2)}÷1
=4x(3/2)ですから
この仕組みで1になる割る数を省略したのが
4÷(2/3)=4x(3/2)=6 と言えます

このように、割算は割る数と割られる数を同倍率で拡大(縮小)しても結果が変わらないという事が
逆数掛け算の背後にあります
(これは、小数点を含む割り算の筆算にも応用されています・・・割る数と割られる数の小数点の位置を移動させておいてから筆算 というのは、両者を同倍率(10倍、100倍、1000倍・・・)で拡大してから割り算しても商が変わらないという事を利用しているのです)
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a÷b=a/b=ax1/b(a,bは分数)。


とさ
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例えば、2÷3というのは、「3個に分けたうちの2個分」ということですね。

つまり「3個に分けた1個分が2個」あると言うことです。
「3個に分けた1個分」というのを数字で表すと1/3ということですね。
1/3が2個あるというのを式にすると、2×(1/3)ということになります。
文字で表すと、a÷bは「b個に分けたa個分」で、「b個に分けた1個分がa個」から、
a×(1/b)
ですね。1/bはbの逆数を表しています。
割り算を計算するときには、割る数の逆数を掛けてあげればいいことになります。
aもbも分数のときも同じ考えで計算できますね。
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不思議じゃ無く、分数の定義と演算の約束事から来ている。



①定義:a÷bをa/bと表記する。
②定義①の言い換え:b倍してaになる数をa/bと表記する。つまり、(a/b)×b=a
③計算法則(結合法則・交換法則・分配法則)は整数と同じ法則を適用する。

②より(a/b)×b=a
a×1=aより、(a/b)×b=a×1

この両辺をbで割ると(a/b)×b÷b=a×1÷b
結合法則より(a/b)×(b÷b)=a×(1÷b)

b÷b=1より(a/b)×1=a×(1÷b) 
乗法の1は書かなくて良いからa/b=a×(1÷b)

①より、1÷b=1/bだから、a×(1÷b)=a×(1/b)
以上より、a/b=a×(1/b)

a/bは定義よりa÷bだから、a÷b=a×(1/b)

bで割る場合は、bの逆数を掛ければ良い事が導き出された。

b/cの逆数はc/bになるから
a÷(b/c)=a×(c/b)が①、②、③から必然的に導き出される。
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÷ っていう字を見るとわかるでしょ 分数の線の上と下に点が書いてある。

 
A ÷ Bというの上の点のところにAをおいて、下の点にBを置くという意味なんです。
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