ちょっと変わったマニアな作品が集結

急ぎです
曲線r(u,v)、Dで与えられる曲面積は∮∮_D |r_u × r_v|dudvである。今、u=u(ξ,η),V=(ξ,η)とするとき、曲面積が∮∮D′|r′_ξ ×r′_η| dξdηで与えられることを示せ。ただしr_uはrに対するuの偏微分、×は外積、| |は
絶対値を表す。

と言う問題で、合成関数の微分則や2変数関数の変数変換、ヤコビアンをどう作用していいかわかりません。文字がごちゃごちゃになっちゃいます、、。

この証明を教えてください。

A 回答 (1件)

変数変換して


∫_D |r_u × r_v|dudv=∫_D' |(r_u × r_v)| ∂(u,v)/∂(ξ,η) dξdη・・・・①
となる。

連鎖律から r=r(u,v) , r'=r'(ξ,η) として
r′_ξ=r_u u_ξ+r_v v_ξ , r′_η=r_u u_η+r_v v_η
すると r_u×r_u=r_v×r_v=0 だから
r′_ξ ×r′_η=(r_u×r_v)(u_ξ u_η)+(r_v×r_u)(v_ξ u_η)
=(r_u×r_v){(u_ξ u_η)-(v_ξ u_η)}=(r_u×r_v)∂(u,v)/∂(ξ,η)
となるから

∫_D' |r′_ξ ×r′_η| dξdη=∫_D' |r_u × r_v|∂(u,v)/∂(ξ,η) dξdη
となり、➀から
∫_D' |r′_ξ ×r′_η| dξdη=∫_D |r_u × r_v|dudv
となる。
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